林德曼-魏爾斯特拉斯定理

林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一個可以用於證明實數的超越性的定理。它表明，如果$a_{1},\ldots ,a_{n}$ 是代數數，在有理數 ℚ 內是線性獨立的，那麼$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$在 ℚ 內是代數獨立的；也就是說，擴張域$\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$在 ℚ 內具有超越次數 n。

一個等價的表述是：如果$a_{1},\ldots ,a_{n}$是不同的代數數，那麼指數$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$在代數數範圍內是線性獨立的。

這個定理由林德曼和魏爾斯特拉斯命名。林德曼在1882年證明了對於任何非零的代數數$\alpha$，$e^{\alpha }$都是超越數，因此推出了圓周率是超越數。魏爾斯特拉斯在1885年證明了一個更一般的結果。

這個定理，以及格爾豐德-施奈德定理，可以推廣為Schanuel猜想。

e和π的超越性

e和π的超越性是這個定理的直接推論。

假設$\alpha$是一個非零的代數數，那麼$\left\{\alpha \right\}$在有理數範圍內是線性獨立的集合，因此根據定理的第一種表述，$\left\{e^{\alpha }\right\}$是一個代數獨立的集合，也就是說，$e^{\alpha }$是超越數。特別地，$e^{1}=e$是超越數^。

另外，利用定理的第二種表述，我們可以證明，如果$\alpha$是一個非零的代數數，那麼$\left\{0,\alpha \right\}$就是不同的代數數的集合，因此集合$\{e^{0},e^{\alpha }\}=\{1,e^{\alpha }\}$在代數數範圍內是線性獨立的，特別地，$e^{\alpha }$不能是代數數，因此一定是超越數。

現在，我們來證明$\pi$是超越數。如果π是代數數，$2\pi i$也是代數數（因為$2i$是代數數），那麼根據林德曼-魏爾斯特拉斯定理， $e^{2\pi i}$（參見歐拉公式）也是超越數，這與1是代數數的事實矛盾。

把這個證明稍微改變以下，可以證明如果$\alpha$是一個非零的代數數，那麼$\sin(\alpha )$、$\cos(\alpha )$、$\tan(\alpha )$和它們的雙曲函數也是超越數。

$p$進數猜想

$p$進數林德曼-魏爾斯特拉斯猜想，就是這個定理在p進數中也成立：假設$p$是素數，$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$是$p$進數，它們都是代數數，且在ℚ內線性獨立，使得對於所有的$i$，都有$|\alpha _{i}|_{p}<1/p$。那麼p進指數$e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$在ℚ內是代數獨立的。

參見

• 證明e是無理數
• 證明π是無理數

參考文獻

• Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X 

外部連結

• 林德曼-魏爾斯特拉斯定理的證明（HTML）