18世纪60年代,约翰·海因里希·朗伯首先证明出圆周率为无理数,即不能表示成两个整数之比。在19世纪,夏尔·埃尔米特给出了不需要微积分以外的预备知识的证明方法,此后又有玛丽·卡特赖特、伊万·尼云以及尼古拉·布尔巴基等人给出更为简洁的证明。另外由拉茨科维奇·米克洛什的证明方法简化了朗伯的证明方法。这些所给出证明方法都基于反证法。
1882年,费迪南德·冯·林德曼进一步给出圆周率不仅为无理数,而且为超越数的证明。
朗伯的证明
1761年,朗伯通过如下所示的连分数来证明圆周率为无理数:
![{\displaystyle \tan x={\frac {x}{1-{\dfrac {x^{2}}{3-{\dfrac {x^{2}}{5-{\dfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c1245b147a984fb34d1b3357789e63eeee9cca)
随后朗伯证明了如果x为非零有理数则该结果必为无理数。由于tan(π/4)=1,因此有π/4为无理数,即π为无理数。
卡特赖特的证明
考虑如下积分:
![{\displaystyle I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb6d0c299cac9375783742997e643079a6ed674)
当n≥2时,可以通过分部积分法得到递推式:
![{\displaystyle x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea4f2727e376055f31d8b3fef133de4a6228a25)
如果定义:
![{\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89133075d36c996eca15ffc30e4c37664edccdac)
那么可以得到:
![{\displaystyle J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784c921f7a3883f099e06711556cd1a095c5b704)
另外,由J0(x)=2sin x以及J1=-4x cos x+4sin x,于是对于所有自然数n满足:
![{\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)=n![P_{n}(x)\sin x+Q_{n}(x)\cos x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0855379e6a7ced547c6394fb7c222f1b45516e)
在这里Pn(x)与Qn(x)都是由正整数为系数以及常数且最高次数不超过n的多项式(依赖于n)。
令x=π/2,如果存在正整数a与b满足π/2=a/b,于是有:
![{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}\cdot I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=P_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)\cdot b^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891b65441d6f70bde209d0235465339454bcb5ce)
等式右边为整数。而由于在长度为2的区间[-1,1]时,被积函数取值范围介于0到1,于是有0<In(x)<2,另一方面:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a^{2n+1}}{n!}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd61c78d526e1ba509d3769e4fea82e0a4bfa078)
于是对于足够大的n,会出现:
![{\displaystyle 0<{\frac {a^{2n+1}\cdot I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb6b5e0b6bd5775084b6d6e3fa8228546b3c5cc)
但在0与1之间不存在整数,矛盾,因此圆周率只能为无理数。
尼云的证明
此证明用到的性质为圆周率为正弦函数最小正零点。
假设圆周率为有理数,即能表示成π=a/b的形式,其中a与b都是整数且b≠0。不失一般性,假定a与b都是正整数。现给出任意正整数n,以及x为实数,定义如下两个函数:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}\\F(x)&=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)+\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1cbd4fc7fce0de8d8c54b0847c12cabb9593ea)
引理一:F(0)+F(π)是一个整数。
证明:对函数f展开,每项xk的系数都是ck/n!的形式,其中ck为整数,当k<n时等于0。因此,当k<n时f(k)(0)=0以及当n≤k≤2n时f(k)(0)=ck/n!,即无论何种情况f(k)(0)都是整数,于是F(0)也是整数。
另一方面,由于f(π-x)=f(x),因此对于每个自然数k有(-1)kf(k)(π-x)=f(k)(x),特别地即有(-1)kf(k)(π)=f(k)(0),因此f(k)(π)为整数,F(π)也是整数,从而得到F(0)+F(π)是一个整数。
引理二:
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\mathrm {d} x=F(0)+F(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f60e4455a44652c5d9177f7eb29ff529b5600e9)
证明:由于f(2n+2)为零多项式,因此有:
![{\displaystyle F''(x)+F(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aba53a0a48f7930e43f957c9e7b1121b530068b)
根据三角函数的导数有sin'=cos以及cos'=-sin,再由乘积法则得到:
![{\displaystyle [F'(x)\sin x-F\cos x]'=f(x)\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53668675361a3c252052248fc10cb84ef069ffe8)
又由微积分基本定理得:
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\mathrm {d} x=[F'(x)\sin x-F\cos x]{\bigg |}_{0}^{\pi }=F(0)+F(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cf544c197406f2408be50b5c196774656dc39c)
在这里用到了前面所提及的圆周率的正弦函数零点性质,即sin 0=sin π=0以及cos 0=-cos π=1。
结论:由于当0<x<π时有f(x)>0以及sin x>0(在这里是因为圆周率为正弦函数最小正零点),以及引理一与引理二说明F(0)+F(π)是正整数。又由于当0≤x≤π时有0≤x(a-bx)≤πa以及0≤sin x≤1,因此可以得到:
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\mathrm {d} x\leqslant {\frac {\pi (\pi a)^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c384dd5f4402091493f49b3037412622cf502b)
当n足够大时,该结果将会小于1,于是有F(0)+F(π)<1,从而出现矛盾。
参见