斯圖爾特定理

斯圖爾特定理

斯圖爾特定理（英語：Stewart's Theorem），或譯史都華定理、斯特瓦爾特定理、斯圖沃特定理，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明： 在三角形$ABC$的邊$BC$上任意取一點$P$，則：

${\overline {PC}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {AC}}^{2}=({\overline {PB}}+{\overline {PC}})({\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {PC}})$。

該定理由蘇格蘭數學家馬修·斯圖爾特在1746年發表。這個定理以他的名字命名，來紀念他的貢獻。

證明

設a與p的交點為P。 對互補角APB和APC應用餘弦定理，可得：

$b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,$

$c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,$

把第一個等式乘以x，把第二個等式乘以y ：

$xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,$

$yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,$

兩式相加，得：

$xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,$

證畢。

歷史

據 Hutton & Gregory (1843，p.220) 所述，Stewart 於 1746 年發表這一結果，當時他正競選愛丁堡大學數學教授之職。Coxeter & Greitzer (1967，p.6) 指出，這一定理可能在公元前300年左右就已經為阿基米德所知。他們接著說（錯誤地），第一個已知的證明是由 R. Simson 於 1751 年提供。Hutton & Gregory (1843 年) 指出，這一定理在 1748 年被 Simson 使用，1752 年被 Simpson 使用，並且它在歐洲的首次出現是由 Lazare Carnot 於1803 年給出。