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數系

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在數學,數系指的是的不同集合

數系的例子包括:自然數整數有理數無理數複數等。

數系的邏輯

自然數

皮亞諾〔Giuseppe Peano〕替自然數建立以下的定義:

  1. 自然數中有0
  2. 每一個自然數都必須有下一個自然數,並以S(a)表示。
  3. 自然數0前沒有自然數。
  4. 不同的自然數的下一個自然數都不同,即a=b即代表S(a)=S(b),相反亦成立。
  5. 若一個特性0擁有,而往後的自然數都擁有,這特性則視為自然數擁有。

根據皮亞諾公理這五個定義,所有自然數的特性皆可推斷。而數則以1=S(0)表示。

數系皆擁有等價關係,即:

  1. 自反性:
  2. 對稱性:
  3. 傳遞性:

定義下自然數可進行運算,以下為加法的定義:

a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)

〔這暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1,所以以下S(x)皆會寫成x + 1〕

以下為乘法的定義:

a × 0 = 0
a × (b + 1) = a × b + a

a × b亦可寫成ab或是ab

以下為指數的定義:

a0 = 1
ab + 1 = ab × a

ab亦會寫成a ^ b或是a ** b,特別是當上標不可使用的時候〕

整數

自然數可以以下方式擴展成整數,每一個非零的自然數a,就會出現一個整數-a,而它不是一個自然數。特別情形-0則定義為自然數0。後續函數亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法則擴展至整數。

加法將以以下方法定義:

  • ab皆自然數,則-a + -b = -(a + b)。
  • a為整數,則a + 0 = a
  • b為一非零整數,則a + b = (a - 1) + S(b)。

減法定義與加法相同,即a - b = a + - b

乘法定義與自然數定義相同,但加入負負得正,負正得負的理念:

  • ab皆自然數,則a × -b = -a × b = -(ab)
  • ab皆自然數,則-a × -b = a × b = ab

有理數是整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱,是整數和分數的集合。

由於任何一個整數或分數都可以化為十進製循環小數,反之,每一個十進製循環小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進製循環小數。

在實數範圍內有理數和無理數都有無窮多個,兩者似乎是「同樣多」的。但從高等數學裏的「測度論」的角度來理解的話,無理數的測度要大於有理數的測度,所以無理數要比有理數「多一些」。如:根據測度論,在閉區間[0,1]內,有理數的測度為0,而無理數的測度為1。所以,在閉區間[0,1]內,無理數的個數要「遠多於」有理數的個數。

無理數,也稱為無限不循環小數,不能寫作兩整數之比。四種常見的無理數有無限不循環小數、含有π的數、開方開不盡的數、某些三角函數值。

判斷一個數是不是無理數,關鍵就看它能不能寫出無限不循環小數。

常見的無理數類型有如下幾種。

1.無限不循環小數:如圓周率π、自然對數的底數e等。 2.根式中開方開不盡的數:如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。

【注】

  1. 兩個有理數的和、差、積、商(除數不為0)仍是有理數。
  2. 兩個無理數的和、差、積、商可以是有理數,也可以是無理數。
  • * # (1)無理數的和、差、積、商為有理數:如e+(1-e)、e-e、「根號2」的平方、e/e等。
  • * # (2)無理數的和、差、積、商為無理數:π+e、π-e、πxe,π/e。

若某複數a+bi中的b若等於0,此複數就為實數。

若某複數a+bi中的b不等於0,就為虛數。 此外,若a+bi中的a等於0,就為純虛數

備註

參考資料

參見