数系

在数学，数系指的是数的不同集合。

数系的例子包括：自然数、整数、有理数、无理数、复数等。

数系的逻辑

自然数

皮亚诺〔Giuseppe Peano〕替自然数建立以下的定义：

自然数中有0。
每一个自然数都必须有下一个自然数，并以S(a)表示。
自然数0前没有自然数。
不同的自然数的下一个自然数都不同，即a=b即代表S(a)=S(b)，相反亦成立。
若一个特性0拥有，而往后的自然数都拥有，这特性则视为自然数拥有。

根据皮亚诺公理这五个定义，所有自然数的特性皆可推断。而数一则以1=S(0)表示。

数系皆拥有等价关系，即：

自反性： $\forall x\in A,~~(x,x)\in R$
对称性： $\forall x,y\in A,~~(x,y)\in R~~\implies ~~(y,x)\in R$
传递性： $\forall x,y,z\in A,~~~((x,y)\in R\wedge (y,z)\in R)~~\implies ~~(x,z)\in R$

定义下自然数可进行运算，以下为加法的定义：

a + 0 = a

a + S(b) = S(a + b)

〔这暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1，所以以下S(x)皆会写成x + 1〕

以下为乘法的定义：

a × 0 = 0

a × (b + 1) = a × b + a

〔a × b亦可写成a ‧ b或是ab〕

以下为指数的定义：

a⁰ = 1

a^{b + 1} = a^b × a

〔a^b亦会写成a ^ b或是a ** b，特别是当上标不可使用的时候〕

整数

自然数可以以下方式扩展成整数，每一个非零的自然数a，就会出现一个整数-a，而它不是一个自然数。特别情形-0则定义为自然数0。后续函数亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法则扩展至整数。

加法将以以下方法定义：

若a及b皆自然数，则-a + -b = -(a + b)。
若a为整数，则a + 0 = a。
若b为一非零整数，则a + b = (a - 1) + S(b)。

减法定义与加法相同，即a - b = a + - b。

乘法定义与自然数定义相同，但加入负负得正，负正得负的理念：

若a及b皆自然数，则a × -b = -a × b = -(ab)
若a及b皆自然数，则-a × -b = a × b = ab

有理数

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

在实数范围内有理数和无理数都有无穷多个，两者似乎是“同样多”的。但从高等数学里的“测度论”的角度来理解的话，无理数的测度要大于有理数的测度，所以无理数要比有理数“多一些”。如：根据测度论，在闭区间[0,1]内，有理数的测度为0，而无理数的测度为1。所以，在闭区间[0,1]内，无理数的个数要“远多于”有理数的个数。