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拉普拉斯逆轉換

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數學中,函式拉普拉斯逆轉換是一個分段連續函式,滿足如下性質:

其中,表示拉普拉斯轉換

可以證明:如果函式具有拉普拉斯逆轉換,則唯一(考慮在勒貝格測度為零的點集上彼此不同的函式)。這個定理由馬提亞·萊奇於1903年首先證明,因而稱之為萊奇定理。[1][2]

因其具有的許多性質,正反拉普拉斯轉換線性動態系統的分析中頗有可為。

梅林反演公式

拉普拉斯逆轉換的積分形式,稱為梅林反演公式(英語:Mellin's inverse formula)、布羅米奇積分或傅立葉-梅林積分,由線積分定義:

積分路徑是複數平面中的垂線,其中大於所有奇異點的實部,且在積分路徑上有界(例如積分路徑位於收斂域內)。當所有奇異點位於左半平面內,或整函式時,可以將置零,此時上述積分退化為傅立葉逆轉換。

在實踐中,復積分的計算可以通過柯西留數定理完成。

珀斯特反演公式

拉普拉斯逆轉換的微分形式,稱為珀斯特反演公式(英語:Post's inversion formula),以數學家埃米爾·珀斯特 (Emil Post)命名, [3]是一個看似簡便但並不常用的拉普拉斯逆轉換計算公式。

公式表述如下:設為區間[0, +∞) 的指數階函式,存在實數b ,使滿足:

則對於任意的拉普拉斯轉換均存在且對於s無限可微。設的拉普拉斯轉換,則可由下式定義:

其中k階導數。

分析公式可以看出,該方法需要計算函式的任意高階導數,這在大多數應用場景下並不現實。

隨著個人電腦的出現,該公式主要用於處理拉普拉斯逆轉換的近似或漸近分析,及通過格倫瓦爾德-萊特尼科夫(Grünwald-Letnikov)微積分計算導數。

隨著計算科學的進步,珀斯特反演公式引起了人們興趣,由於其不需要的具體極點坐標,通過數次逆梅林轉換,可能實現對黎曼猜想漸近分析

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參考連結

  1. ^ Cohen, A. M. Numerical Methods for Laplace Transform Inversion. Numerical Methods and Algorithms 5. 2007: 23–44. ISBN 978-0-387-28261-9. doi:10.1007/978-0-387-68855-8_2. 
  2. ^ Lerch, M. Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. Acta Mathematica. 1903, 27: 339–351. doi:10.1007/BF02421315可免費查閱. 
  3. ^ Post, Emil L. Generalized differentiation. Transactions of the American Mathematical Society. 1930, 32 (4): 723–781. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X可免費查閱. 
  4. ^ Abate, J.; Valkó, P. P. Multi-precision Laplace transform inversion. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004, 60 (5): 979. Bibcode:2004IJNME..60..979A. S2CID 119889438. doi:10.1002/nme.995. 

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