拉普拉斯逆变换

在数学中，函数$F(s)$的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数$f(t)$，满足如下性质：

${\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),$

其中，${\mathcal {L}}$表示拉普拉斯变换。

可以证明：如果函数$F(s)$具有拉普拉斯逆变换$f(t)$，则$f(t)$唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。

因其具有的许多性质，正反拉普拉斯变换在线性动态系统的分析中颇有可为。

梅林反演公式

拉普拉斯逆变换的积分形式，称为梅林反演公式（英语：Mellin's inverse formula）、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分，由线积分定义：

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds$

积分路径是复平面中的垂线$Re(s)=\gamma$，其中$\gamma$大于$F(s)$所有奇点的实部，且$F(s)$在积分路径上有界（例如积分路径位于$F(s)$收敛域内）。当所有奇点位于左半平面内，或$F(s)$是整函数时，可以将$\gamma$置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。

在实践中，复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。

珀斯特反演公式

拉普拉斯逆变换的微分形式，称为珀斯特反演公式（英语：Post's inversion formula），以数学家埃米尔·珀斯特 (Emil Post)命名， 是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。

公式表述如下：设$f(t)$为区间[0, +∞) 的指数阶函数，存在实数b ，使$f(t)$满足：

$\sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty$

则对于任意$s>b$，$f(t)$的拉普拉斯变换均存在且对于s无限可微。设$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，则$f(t)$可由下式定义：

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)$

其中$t>0$，$F^{(x)}$是$F$对$s$的k阶导数。

分析公式可以看出，该方法需要计算函数$F(s)$的任意高阶导数，这在大多数应用场景下并不现实。

随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析，及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分计算导数。

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要$F(s)$的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能实现对黎曼猜想的渐近分析。

软件工具

• InverseLaplaceTransform （页面存档备份，存于互联网档案馆）：在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解
• 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• ilaplace （页面存档备份，存于互联网档案馆）：在MATLAB中求拉普拉斯逆变换的解析解
• Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演
• Matlab中基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

相关条目

• 傅里叶变换
• 泊松求和公式

相关书目

• Davies, B. J., Integral transforms and their applications 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4 
• Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D., Handbook of integral equations, London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3 
• Boas, Mary, Mathematical Methods in the physical sciences, John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1  含有内容需登录查看的页面 (link) (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
• Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946 
• Elementary inversion of the Laplace transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

外部链接

• EqWorld 的积分变换表 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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