拉回 (範疇論)

在數學分支範疇論中，拉回（也稱為纖維積或笛卡爾方塊）是由具有公共上域的兩個態射f : X → Z與g : Y → Z組成的圖表的極限。拉回經常寫作

$P=X\times _{Z}Y.\,$

泛性質

明確地說，態射f和g的拉回由一個對象P和兩個態射 p₁ : P → X與p₂ : P → Y組成，使得圖表

交換。並且拉回(P, p₁, p₂)對這個圖表必須是通用的。這便是說，任何其它這樣的三元組(Q, q₁, q₂)一定存在惟一的u : Q → P使得圖表

交換。和所有泛構造一樣，拉回如果存在必然在同構的意義下是惟一的。

弱拉回

一個cospan X → Z ← Y的弱拉回是在cospan上面的錐只須滿足弱泛性質，這就是說中間映射u : Q → P不必是惟一的。

例子

在集合範疇中，f與g的拉回是集合

$X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\},\,$

以及投影映射的限制$\pi _{1}$與$\pi _{2}$映到X×_Z Y。

• 這個例子啟發另一種方式考慮拉回：作為態射f o p₁, g o p₂ : X×Y → Z的等化子，這裡X×Y是X和Y的二元積

而p₁與p₂是自然投影。這說明拉回在任何具有二元積和等化子的範疇中存在。事實上，由極限存在定理，在具有有終對象、二元積和等化子的範疇中所有有限極限存在。

拉回的另一個例子來自纖維叢理論：給定一個纖維映射π : E → B以及一個連續映射f : X → B，拉回 X ×_B E是X上的纖維叢，稱為拉回叢。伴隨的交換圖表是纖維叢映射。

在任何具有終對象Z的範疇中，拉回X ×_Z Y恰好是普通積X×Y。

性質

• 如果X ×_ZY存在，那麼Y ×_Z X也存在，且存在態射X ×_Z Y $\cong$ Y ×_ZX。
• 單態射在拉回下不變：如果箭頭f單，那麼它就是箭頭p₂。例如，在集合範疇中，如果X是Z的子集，那麼對任何g : Y → Z，拉回X ×_Z Y是X在g下的逆像。
• 同構態射也不變，因此X ×_X Y $\cong$ Y對任何映射Y → X成立。

又見

• 拉回的範疇對偶稱為推出。
• 微分幾何中的拉回。
• 關係代數中的相等連接。

參考文獻

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
• Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Originally published in 1965, by Harper & Row).

外部連結

• 有趣的網頁給出了有限集合中拉回的例子，作者為Jocelyn Paine。