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拉回 (範疇論)

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數學分支範疇論中,拉回(也稱為纖維積笛卡爾方塊)是由具有公共上域的兩個態射f : XZg : YZ組成的圖表極限。拉回經常寫作

泛性質

明確地說,態射fg的拉回由一個對象P和兩個態射 p1 : PXp2 : PY組成,使得圖表

交換。並且拉回(P, p1, p2)對這個圖表必須是通用的。這便是說,任何其它這樣的三元組(Q, q1, q2)一定存在惟一的u : QP使得圖表

交換。和所有泛構造一樣,拉回如果存在必然在同構的意義下是惟一的。

弱拉回

一個cospan XZY弱拉回是在cospan上面的只須滿足弱泛性質,這就是說中間映射u : QP不必是惟一的。

例子

集合範疇中,fg的拉回是集合

以及投影映射的限制映到X×Z Y

  • 這個例子啟發另一種方式考慮拉回:作為態射f o p1, g o p2 : X×YZ等化子,這裡X×YXY二元積

p1p2是自然投影。這說明拉回在任何具有二元積和等化子的範疇中存在。事實上,由極限存在定理,在具有有終對象、二元積和等化子的範疇中所有有限極限存在。

拉回的另一個例子來自纖維叢理論:給定一個纖維映射π : EB以及一個連續映射f : XB,拉回 X ×B EX上的纖維叢,稱為拉回叢。伴隨的交換圖表是纖維叢映射。

在任何具有終對象Z的範疇中,拉回X ×Z Y恰好是普通積X×Y

性質

  • 如果X ×ZY存在,那麼Y ×Z X也存在,且存在態射X ×Z Y Y ×ZX
  • 單態射在拉回下不變:如果箭頭f單,那麼它就是箭頭p2。例如,在集合範疇中,如果XZ的子集,那麼對任何g : YZ,拉回X ×Z YXg下的逆像
  • 同構態射也不變,因此X ×X Y Y對任何映射YX成立。

又見

參考文獻

外部連結