數學中,龐加萊度量(Poincaré metric),以昂利·龐加萊命名,描述了一個常負曲率二維曲面的度量張量。它是雙曲幾何和黎曼曲面中廣為使用的自然度量。
在二維雙曲幾何中有三種廣泛使用的等價表述。其中一個是龐加萊半平面模型,在上半平面上定義一個雙曲空間模型。龐加萊圓盤模型在單位圓盤上定義了一個雙曲空間模型。圓盤與上半平面通過一個共形映射聯繫,等距由莫比烏斯變換給出。第三個表述是在穿孔圓盤上,通常表示為與 q-類似(Q-analog)的關係,這種形式不同於前兩種。
黎曼曲面上的度量概要
複平面上的度量可寫成一般形式
這裡 λ 是 z 與 的一個實正函數。複平面上曲線 γ 的長度為
複平面上子集 M 之面積是
這裡 是用於構造體積形式的外積。度量的行列式等於 ,故而行列式的平方根是 。複平面上的歐幾里得體積形式為 ,從而我們有
函數 稱為度量的勢能(potential of the metric),如果
拉普拉斯–貝爾特拉米算子為
度量的高斯曲率由
給出,這個曲率是里奇數量曲率的一半。
等距保持角度與弧長。在黎曼曲面上,等距與坐標變換等價:即拉普拉斯-貝爾特拉米算子與曲率在等距下不變。從而,比如設 S 是一個黎曼曲面帶有度量 而 T 是帶有度量 的黎曼曲面,則映射
以及 是等距若且唯若它是共形的以及
在這裡,映射為共形的也就是條件
即
龐加萊平面上的度量與體積元
龐加萊半平面模型中上半平面 H 的龐加萊度量張量為
這裡我們記 。這個度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。這就是,如果我們記
對 ,則我們可算得
與
無窮小變換為
從而
這樣便清楚地表明度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。
不變體積元素為
對 度量為
度量的另一個有用的形式是用交比給出。給定緊化複平面 上任意四點 與,交比定義為
那麼度量用交比表示為
這裡 與 是端點,位於實數軸上,測地線連接 與 。這些點是有順序的故 位於 與 之間。
這個度量張量的測地線是在兩個端點處垂直於實軸的圓弧(的一段),即端點位於實軸的上半圓周。
從平面到圓盤的共形映射
上半平面可以共形地映到單位圓盤,用莫比烏斯變換
這裡單位圓盤上的點 w 對應於上半平面上的點 z。在這個映射中,常數 z0 可取上半平面上任何一點;這個點將映為圓盤的中心。實數軸 映為單位圓盤的邊界 。實常數 將圓盤旋轉任意一個角度。
典範映射是
將 i 映為圓盤的中心,0 映為圓盤的最低點。
龐加萊圓盤上的度量與體積元素
龐加萊圓盤模型里的龐加萊度量張量在單位圓盤 上為
體積形式為
對 的龐加萊度量為
這個度量張量的測地線是在端點處正交於圓盤邊界的圓弧。
穿孔圓盤模型
第二個將上半平面映成圓盤是 q-映射:
這裡 q 是 nome(Nome), 是半周期比例(half-period ratio)。在上一節的記號中, 是上半平面 的坐標。這個映射映到穿孔圓盤,因為值 q=0 不在映射的像中。
上半平面的龐加萊度量在 q-圓盤上誘導一個度量
度量的勢能是
施瓦茨引理
龐加萊度量在調和函數上距離減小。這是施瓦茨引理的一個推廣,稱為施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理(Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。
另見
引用
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)