数学中,庞加莱度量(Poincaré metric),以昂利·庞加莱命名,描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。
在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型,在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系,等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上,通常表示为与 q-类似(Q-analog)的关系,这种形式不同于前两种。
黎曼曲面上的度量概要
复平面上的度量可写成一般形式
这里 λ 是 z 与 的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为
复平面上子集 M 之面积是
这里 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 ,故而行列式的平方根是 。复平面上的欧几里得体积形式为 ,从而我们有
函数 称为度量的势能(potential of the metric),如果
拉普拉斯–贝尔特拉米算子为
度量的高斯曲率由
给出,这个曲率是里奇数量曲率的一半。
等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上,等距与坐标变换等价:即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而,比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 而 T 是带有度量 的黎曼曲面,则映射
以及 是等距当且仅当它是共形的以及
在这里,映射为共形的也就是条件
即
庞加莱平面上的度量与体积元
庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为
这里我们记 。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是,如果我们记
对 ,则我们可算得
与
无穷小变换为
从而
这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。
不变体积元素为
对 度量为
度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 上任意四点 与,交比定义为
那么度量用交比表示为
这里 与 是端点,位于实数轴上,测地线连接 与 。这些点是有顺序的故 位于 与 之间。
这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧(的一段),即端点位于实轴的上半圆周。
从平面到圆盘的共形映射
上半平面可以共形地映到单位圆盘,用莫比乌斯变换
这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中,常数 z0 可取上半平面上任何一点;这个点将映为圆盘的中心。实数轴 映为单位圆盘的边界 。实常数 将圆盘旋转任意一个角度。
典范映射是
将 i 映为圆盘的中心,0 映为圆盘的最低点。
庞加莱圆盘上的度量与体积元素
庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 上为
体积形式为
对 的庞加莱度量为
这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。
穿孔圆盘模型
第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射:
这里 q 是 nome(Nome), 是半周期比例(half-period ratio)。在上一节的记号中, 是上半平面 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘,因为值 q=0 不在映射的像中。
上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量
度量的势能是
施瓦茨引理
庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广,称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理(Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。
另见
引用
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)