平面 (數學)

此條目頁的主題是數學上的平面。關於語言學上的平面，請見「平面 (語言學)」。

以人類的尺度而言，桌面可近似地看作一類平面。

數學上，一個平面（plane）就是基本的二維對象。直觀的講，它可以視為一個平坦的擁有無窮大面積的紙。多數幾何、三角學和製圖的基本工作都在二維進行，或者說，在平面上進行。

給定一個平面，可以引入一個直角坐標系以便在平面上用兩個數字唯一的標示一個點，這兩個數字也就是它的坐標。

在三維x-y-z坐標系中，可以將平面定義為一個方程的集：

$ax+by+cz+d=0$,

其中a, b, c和d是實數，使得a, b, c不全為0。或者，一個平面也可以參數化的表述，作為所有具有u + s v + t w形式的點的集合，其中s和t取遍所有實數，而u, v 和w是給定用於定義平面的向量。

平面由如下組合的任何一個唯一確定

• 三個不共線的點（不位於同一直線上的）
• 一條直線和線外一點
• 一個點和一條垂直於平面的直線
• 兩條相交的直線
• 兩條平行的直線

在三維空間，兩個不同平面或平行或交於一條直線。不和給定平面平行的直線交平面於一點。

由一點和一個法向量決定的平面

對於一點$P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$和一個向量 ${\vec {n}}=(a,b,c)$，平面方程為

$ax+by+cz=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}$

這是穿過點$P_{0}$並垂直於向量${\vec {n}}$的平面。

通過三點的平面

穿過三點$P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$, $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ 和 $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$的平面的方程可以表述為如下行列式:

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0$

一點到平面的距離

對於一點$P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$和一個平面$ax+by+cz+d=0$，從點$P_{1}$到平面的距離是：

$D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

兩個平面的夾角

兩個相交平面的夾角，稱為二面角（dihedral angle），可以用平面方程$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$和$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$給出如下：

$\alpha =\arccos {\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$.

外部連結

• 減少算術和平面幾何的難點 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 是一個阿拉伯語的手稿，從15世紀，作為一個教程平面的幾何和算術