完整系統

在古典力學裏，假若一個系統的所有的約束條件都是完整約束，則稱此系統為完整系統（holonomic system）。完整約束以方程式表達為

$f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0$；

其中，$x_{i}$是每一個粒子$P_{i}$之位置，$t$是時間。

假若一個約束條件不能夠以上述方程式表達，則稱此約束條件為非完整約束。

假若一個系統有任何約束條件不是完整約束，則稱此系統為非完整系統。

轉換至廣義坐標

完整約束方程式只跟位置、時間有關，跟速度無關。完整約束方程式可以幫助消除相關的變量。假設變量$x_{d}$是完整約束函數$f_{i}$的一個參數，則可以將$x_{d}$從系統裏所有的方程式中消除。首先，必須求出$x_{d}$的函數$g_{i}$：

$x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)$。

將函數$g_{i}$代入系統裏所有提到$x_{d}$的方程式，就可以消除相關變量$x_{d}$。

假設一個物理系統原本的自由度是$N$。現在，新設定$h$個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為$m=N-h$。可以使用$m$個獨立廣義坐標$(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})$來描述這系統的運動。廣義坐標的轉換方程式為

$x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N$。

微分形式

有些時候，一個物理系統的某約束條件會以微分形式的方程式來表示，而不是以上述函數形式。思考第$i$個約束條件的微分形式的方程式：

$\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$；

其中，$c_{ij}$，$c_{i}$分別為微分$dq_{j}$與$dt$的係數。

假若此約束方程式是可積分的，也就是說，存在有一個函數$f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0$的全微分滿足相等關係式

$df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$，

則此約束條件是完整約束；否則，此約束條件是非完整約束。請注意到，所有的完整約束和某些非完整約束都可以表示為微分形式的方程式；但是，並不是所有的非完整約束都可以這樣表示。跟廣義速度有關的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束條件的微分形式的方程式，這約束條件到底是完整約束，還是非完整約束，需要看其微分形式的方程式是否可積分來決定。

系統分類

為了要有條不紊地研究古典力學，必須有一個合理的分類制度。物理系統可以分類為完整系統與非完整系統。許多理論或方程式成立的條件之一，就是系統裏所有的約束都必須是完整約束。例如，假若一個物理系統是完整系統與單演系統，則拉格朗日方程式成立的必需與足夠的條件是哈密頓原理。

實例

簡單擺

一個簡單擺的擺錘遵守完整約束

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0$；

其中，$(x,\ y)$是擺錘的位置，$L$是擺長。

剛體內部的粒子們遵守完整約束

$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0$；

其中，$\mathbf {r} _{i}$ , $\mathbf {r} _{j}$分別是粒子$P_{i}$與$P_{j}$的位置，$L_{ij}$是它們之間的距離。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 非完整系統
• 定常系統
• 單演系統
• 保守系統