完整系统

在经典力学里，假若一个系统的所有的约束条件都是完整约束，则称此系统为完整系统（holonomic system）。完整约束以方程表达为

$f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0$；

其中，$x_{i}$是每一个粒子$P_{i}$之位置，$t$是时间。

假若一个约束条件不能够以上述方程表达，则称此约束条件为非完整约束。

假若一个系统有任何约束条件不是完整约束，则称此系统为非完整系统。

转换至广义坐标

完整约束方程只跟位置、时间有关，跟速度无关。完整约束方程可以帮助消除相关的变量。假设变量$x_{d}$是完整约束函数$f_{i}$的一个参数，则可以将$x_{d}$从系统里所有的方程中消除。首先，必须求出$x_{d}$的函数$g_{i}$：

$x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)$。

将函数$g_{i}$代入系统里所有提到$x_{d}$的方程，就可以消除相关变量$x_{d}$。

假设一个物理系统原本的自由度是$N$。现在，新设定$h$个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为$m=N-h$。可以使用$m$个独立广义坐标$(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})$来描述这系统的运动。广义坐标的转换方程为

$x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N$。

微分形式

有些时候，一个物理系统的某约束条件会以微分形式的方程来表示，而不是以上述函数形式。思考第$i$个约束条件的微分形式的方程：

$\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$；

其中，$c_{ij}$，$c_{i}$分别为微分$dq_{j}$与$dt$的系数。

假若此约束方程是可积分的，也就是说，存在有一个函数$f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0$的全微分满足相等关系式

$df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0$，

则此约束条件是完整约束；否则，此约束条件是非完整约束。请注意到，所有的完整约束和某些非完整约束都可以表示为微分形式的方程；但是，并不是所有的非完整约束都可以这样表示。跟广义速度有关的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束条件的微分形式的方程，这约束条件到底是完整约束，还是非完整约束，需要看其微分形式的方程是否可积分来决定。

系统分类

为了要有条不紊地研究经典力学，必须有一个合理的分类制度。物理系统可以分类为完整系统与非完整系统。许多理论或方程成立的条件之一，就是系统里所有的约束都必须是完整约束。例如，假若一个物理系统是完整系统与单演系统，则拉格朗日方程成立的必需与足够的条件是哈密顿原理。

实例

简单摆

一个简单摆的摆锤遵守完整约束

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0$；

其中，$(x,\ y)$是摆锤的位置，$L$是摆长。

刚体内部的粒子们遵守完整约束

$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0$；

其中，$\mathbf {r} _{i}$ , $\mathbf {r} _{j}$分别是粒子$P_{i}$与$P_{j}$的位置，$L_{ij}$是它们之间的距离。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 非完整系统
• 定常系统
• 单演系统
• 保守系统