都卜勒測量

都卜勒測量（英語：Doppler measurement）是通過觀測無線電波的都卜勒頻移來確定兩點間的相對速度或距離差的測量方式，後者又稱距離差測量。都卜勒測量可應用於都卜勒雷達、雷射都卜勒測速儀等各種場合，亦可應用於衛星導航系統中測定衛星或測站的位置（即都卜勒定位）和速度。

都卜勒測速

都卜勒效應

主條目：都卜勒效應和相對論性都卜勒效應

在相對論框架下，都卜勒效應可表達成如下形式：

${\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-v/c\cdot \cos \theta }{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

其中，各個量所代表的含義為

• $f_{r}$ 是電磁波的接收頻率
• $f_{s}$ 是電磁波的發射頻率
• $v$ 是發射者 $S$ 相對於接收者 $P$ 的速度
• $\theta$ 是該速度方向相對於 ${\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}$ 方向的夾角
• $c$ 是光速

兩者間距離 $r$ 隨時間 $t$ 的變化率 ${\dot {r}}$ 與該相對速度之間的關係為：

${\dot {r}}={\operatorname {d} \!r \over \operatorname {d} \!t}=-v\cdot \cos \theta$

因而，將都卜勒效應的表達式進行級數展開：

$f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots \right)$

都卜勒頻移

當接收者與發送者的相對速度遠小於光速（即 ${\frac {v}{c}}\ll 1$）時，僅保留級數的最大項，得到

$f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)$

得到的發射頻率 $f_{s}$ 與接收頻率 $f_{r}$ 之差被稱為都卜勒頻移（英語：Doppler shift）：

$\Delta f=f_{s}-f_{r}={\frac {\dot {r}}{c}}f_{s}$

橫向都卜勒效應

在除去都卜勒頻移後，級數中的剩餘項被稱為橫向都卜勒效應（英語：transversal Doppler effect）：

$\Delta _{R}={\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots$

橫向都卜勒效應發生在與發射者與接收者的連線${\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}$ 相垂直的方向上，高精度的測量需要考慮對該效應進行改正。

都卜勒測距

都卜勒計數

在發射者與接收者之間設定一相同的基準頻率 $f_{g}$，當兩者間存在都卜勒效應時，接收方可以通過混頻的方式求得拍頻信號 $f_{g}-f_{r}$。將該差頻信號在時域 $T$ 上進行積分：

$N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T$

得到的 $N_{jk}$ 被稱為積分都卜勒計數（英語：integrated Doppler count），$T_{j}$ 和 $T_{k}$ 分別表示積分開始和結束的時間。

距離差測量

將都卜勒頻移的公式代入都卜勒計數的公式中，可以將都卜勒計數轉換為積分起始時刻兩者的距離差 $r_{k}-r_{j}$ ，即

$N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}{\frac {f_{g}}{c}}{\dot {r}}\operatorname {d} \!T={\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})$

這一測量方式又被稱為距離差測量。然而在實際應用中，計數器通常不能判別 $N_{jk}$ 的符號，距離差 $r_{k}-r_{j}$ 的符號亦無法判別。因此，通常會人為地提高接收者所產生的信號頻率至 $f_{0}$，以保證 $f_{0}>f_{r}$ 恆成立，此時上式變為

$N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{r})\operatorname {d} \!T=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{g})\operatorname {d} \!T+\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T=(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})+{\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})$

積分起始時刻兩者的距離差 $r_{k}-r_{j}$ 則寫作

$r_{k}-r_{j}={\frac {c}{f_{g}}}\cdot \left[N_{jk}-(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})\right]$

相關條目

• 子午儀衛星導航系統
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