多普勒測量

多普勒測量（英語：Doppler measurement）是通過觀測無線電波的多普勒頻移來確定兩點間的相對速度或距離差的測量方式，後者又稱距離差測量。多普勒測量可應用於多普勒雷達、激光多普勒測速儀等各種場合，亦可應用於衛星導航系統中測定衛星或測站的位置（即多普勒定位）和速度。

多普勒測速

多普勒效應

主條目：多普勒效應和相對論性多普勒效應

在相對論框架下，多普勒效應可表達成如下形式：

${\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-v/c\cdot \cos \theta }{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

其中，各個量所代表的含義為

• $f_{r}$ 是電磁波的接收頻率
• $f_{s}$ 是電磁波的發射頻率
• $v$ 是發射者 $S$ 相對於接收者 $P$ 的速度
• $\theta$ 是該速度方向相對於 ${\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}$ 方向的夾角
• $c$ 是光速

兩者間距離 $r$ 隨時間 $t$ 的變化率 ${\dot {r}}$ 與該相對速度之間的關係為：

${\dot {r}}={\operatorname {d} \!r \over \operatorname {d} \!t}=-v\cdot \cos \theta$

因而，將多普勒效應的表達式進行級數展開：

$f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots \right)$

多普勒頻移

當接收者與發送者的相對速度遠小於光速（即 ${\frac {v}{c}}\ll 1$）時，僅保留級數的最大項，得到

$f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)$

得到的發射頻率 $f_{s}$ 與接收頻率 $f_{r}$ 之差被稱為多普勒頻移（英語：Doppler shift）：

$\Delta f=f_{s}-f_{r}={\frac {\dot {r}}{c}}f_{s}$

橫向多普勒效應

在除去多普勒頻移後，級數中的剩餘項被稱為橫向多普勒效應（英語：transversal Doppler effect）：

$\Delta _{R}={\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots$

橫向多普勒效應發生在與發射者與接收者的連線${\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}$ 相垂直的方向上，高精度的測量需要考慮對該效應進行改正。

多普勒測距

多普勒計數

在發射者與接收者之間設定一相同的基準頻率 $f_{g}$，當兩者間存在多普勒效應時，接收方可以通過混頻的方式求得拍頻信號 $f_{g}-f_{r}$。將該差頻信號在時域 $T$ 上進行積分：

$N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T$

得到的 $N_{jk}$ 被稱為積分多普勒計數（英語：integrated Doppler count），$T_{j}$ 和 $T_{k}$ 分別表示積分開始和結束的時間。

距離差測量

將多普勒頻移的公式代入多普勒計數的公式中，可以將多普勒計數轉換為積分起始時刻兩者的距離差 $r_{k}-r_{j}$ ，即

$N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}{\frac {f_{g}}{c}}{\dot {r}}\operatorname {d} \!T={\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})$

這一測量方式又被稱為距離差測量。然而在實際應用中，計數器通常不能判別 $N_{jk}$ 的符號，距離差 $r_{k}-r_{j}$ 的符號亦無法判別。因此，通常會人為地提高接收者所產生的信號頻率至 $f_{0}$，以保證 $f_{0}>f_{r}$ 恆成立，此時上式變為

$N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{r})\operatorname {d} \!T=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{g})\operatorname {d} \!T+\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T=(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})+{\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})$

積分起始時刻兩者的距離差 $r_{k}-r_{j}$ 則寫作

$r_{k}-r_{j}={\frac {c}{f_{g}}}\cdot \left[N_{jk}-(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})\right]$

相關條目

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