地理統計

地理統計（英語：geostatistics，或譯作地統計學、地學統計、地質統計學等）是統計學中關注空間或時空數據集的一個分支，最初是從採礦作業中預測礦石品位的機率分布而發展出來的^[1]，目前已應用於石油地質學、水文地質學、水文學、氣象學、海洋學、地球化學、地質冶金學（英語：Geometallurgy）、地理學、林業、環境控制、景觀生態學、土壤學，以及農業（尤其是精準農業）等多個學科。地理統計應用於地理學的各個分支，特別是涉及疾病傳播（流行病學）、商業和軍事規劃（物流）的實踐，還應用於建設高效的空間網絡（英語：Spatial network）。地理統計相關算法已融入地理資訊系統（GIS）等許多應用場景。

背景

地理統計與插值方法密切相關，但遠不止簡單的插值問題。地理統計技術依賴基於隨機函數（或隨機變數）理論的統計模型來模擬與空間估計和模擬相關的不確定性。

許多更簡單的插值方法/算法，例如反距離加權、雙線性插值和最近鄰插值，在地統計學問世前就已經普及。^[2]但地統計學超越了插值問題，將位於未知位置的要研究的現象視作一組相關的隨機變數。

令 $Z (x)$ 為特定位置 $x$ 處的感興趣變數的值。這個值是未知的（例如溫度、降雨量、測壓水位、地質相等）。儘管可以前往位置 $x$ 測量該數值，但地統計學認為該值在尚未測量時是隨機的。然而， $Z (x)$ 又不完全隨機，可以用累積分布函數（CDF）定義，而該函數依賴於關於 $Z (x)$ 值的某些已知資訊（information）：

F({\mathit {z}},\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} )\leqslant {\mathit {z}}\mid {\text{information}}\rbrace .

通常，如果靠近 $x$ 的某些位置（或位於 $x$ 的鄰域中）的 $Z$ 的值已知，則可以通過該鄰域來約束 $Z (x)$ 的累積分布函數：如果假設空間是高度連續的（空間自我相關），則 $Z (x)$ 必與附近的值相似。相反，若空間連續性很弱，則 $Z (x)$ 可以取任何值。隨機變數的空間連續性可以用空間連續性模型來描述；它可以是基於變差函數的地統計學中的參數形式的模型，也可以是無母數形式的，如多點模擬^[3]或偽遺傳方法。

研究者可將單個空間模型應用在整個定義域上，藉此假設 $Z$ 是一個平穩過程。它表示相同的統計屬性適用於整個定義域。許多種地理統計方法提供了將這些平穩性假設的條件放寬的方法。

該框架中，可以區分兩個建模目標：

估計 $Z (x)$ 的值，通常使用累積分布函數 $f (z, x)$ 的期望值、中位數或眾數。其通常表現為估計問題。
考慮每個位置上的每種可能結果，從整個機率密度函數 $f (z, x)$ 中採樣。其方法通常是建立幾個替代性的 $Z$ ，稱為實現（realization）。考慮在 $N$ 維網格節點（或像素）中離散化的域。每個實現都是完整 $N$ 維聯合分布函數的樣本

F(\mathbf {z} ,\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} _{1})\leqslant z_{1},Z(\mathbf {x} _{2})\leqslant z_{2},...,Z(\mathbf {x} _{N})\leqslant z_{N}\rbrace .

該方法承認插值問題存在多種解法。每個實現都被視作真實變數可能取值的情形。然後，所有與之相關的工作流都在考慮實現的集成，從而考慮允許機率預測的預測集成。因此，地統計學常用於在求解逆問題時生成或更新空間模型。^[4]^[5]

地理統計估計和多重實現方法都存在許多方法。一些參考書提供了該學科的全面概述。^[6]^[2]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

方法

估計

克里金法

克里金法（Kriging）是一類地統計技術，用於在缺少觀測值的位置，根據在附近位置的觀察值插入隨機場的值（例如高程z）。

貝氏估計

貝氏推論是一種統計推論方法，它使用貝氏定理在獲得更多證據或資訊時更新機率模型。貝氏推論在地統計學中日益重要。^[16]貝氏估計通過空間過程實現克里金法，最常見的是高斯過程，並使用貝氏定理更新該過程以計算其事後機率。另有高維貝葉斯地統計學。^[17]

有限差分法

考慮到機率守恆原理，循環差分方程式（有限差分方程式）可與格網相結合，計算機率，對地質構造的不確定性進行量化。此過程是馬可夫鏈和貝葉斯模型的數值替代方法。^[18]

模擬

聚合
分解
Turning bands
科列斯基分解
截斷高斯
Plurigaussian
Annealing
光譜模擬
序列指標
序列高斯
Dead Leave
轉移機率
馬可夫鏈地理統計
馬可夫網格模型
支持向量機
布林模擬
遺傳模型
偽遺傳模型
元胞自動機
多點地統計學

定義和工具

區域化變數理論（英語：Regionalized variable theory）
共變異數函數
半變異數
變差函數（英語：Variogram）
克里金法（英語：Kriging）
基台值
變程
金塊效應（英語：Nugget effect）

參見

參考文獻

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外部連結

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On-Line Library that chronicles Matheron's journey from classical statistics to the new science of geostatistics （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
[2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
https://web.archive.org/web/20040326205028/http://geostatscam.com/ Is the site of Jan W. Merks, who claims that geostatistics is "voodoo science" and a "scientific fraud"
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