圓台

一個圓台

一個圓台

圓台，又稱截頂圓錐、圓亭，是幾何學中研究的一類三維形體，指一個圓錐被平行於它的底面的一個平面所截後，截面與底面之間的幾何形體。截面也稱為圓台的上底面，原來圓錐的底面稱為下底面。隨著圓錐形狀不同，圓台的稱呼也不相同。一般說到圓台都是指正圓台，也就是指正圓錐截出的圓台。正圓台和圓形有相同的對稱結構。以下除非另作註明，「圓台」都指正圓台。

性質

體積

圓台的體積取決於兩底面之間的距離（圓台的高），以及原來圓錐的體積。設$h$為圓台的高，$r$和$R$為稜台的上下底面半徑，$V$ 為圓台的體積。由於圓台是由一個平面截去圓錐的一部分（也就是和原來圓錐相似的一個小圓錐）得到，所以計算體積的時候，可以先算出原來圓錐的體積，再減去和它相似的小圓錐的體積。圓錐被平行於底面的平面所截時，截面圓的半徑與底面半徑的比，等於小圓錐和原圓錐的高的比。假設原圓錐的高是$H$，那麼小圓錐的高是$H-h$。也就是說：

${\frac {H-h}{H}}={\frac {r}{R}}.$

所以：

$H={\frac {hR}{R-r}}$

圓台的體積等於原圓錐體積減去小圓錐的體積：

$V={\frac {\pi R^{2}H}{3}}-{\frac {\pi r^{2}(H-h)}{3}}={\frac {\pi (R^{2}-r^{2})Rh}{3(R-r)}}+{\frac {\pi hr^{2}}{3}}={\frac {\pi h}{3}}\left(R^{2}+r^{2}+Rr\right)$

《九章算術》記載的圓台體積公式：「上下周相乘，又各自乘，並之，以高乘之，三十六而一。」這是將圓周率的值取為3得到的。

表面積

圓台的側面展開圖是一個「扇面形」，也就是兩個同心扇形的差。展開圖的面積，就是兩個扇形的面積差，其中$l$是圓台的母線長度：

$S_{c}=\pi RL-\pi r(L-l)=\pi (R+r)l$

圓台的表面積S_t等於圓台的側面積S_c加上兩底的面積S_u、S_d。

$S_{t}=S_{c}+S_{u}+S_{d}=\pi \left[R^{2}+r^{2}+(R+r)l\right].$

參看

• 稜台：平行於稜錐底面的平面截稜錐，截面和底面之間的部分；
• 圓錐：圓的各個切線和圓外一點所成的平面包圍得到的立體。
• 平截頭體：平行於錐體底面的平面截去錐體頂部後得到的幾何體，分為稜台和圓台。