迴文數

迴文數或回文數是指像14641這樣「對稱」的數，即：將這數的位數反轉排列得到的「倒序數」^[1]^:94或「反序數」^[1]^:59和原數一樣。這裡，「回文」是指像「媽媽愛我，我愛媽媽」這樣，正讀反讀都相同的單詞或句子。

迴文數在休閒數學領域備受關注，典型的問題就是尋找那些有某種特性且符合回文特徵的數，如

回文質數：2、3、5、7、11、101、131、151、… A002385
回文完全平方數：0、1、4、9、121、484、676、10201、12321、… A002779

巴克敏斯特·福樂的著作《協同學》（Synergetics）把迴文數也叫做沙拉扎數（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位講故事的王妃、即宰相女兒之名。

任何進位制都有無限個迴文數；101、1001、10001、…（一個1後接n個0再後接一個1）等各項在任何進制都是迴文數，可組成有無限項的序列，這進制的迴文數有無限（其中包括但不限於該序列中的無限項）。

正式定義

雖然通常考慮十進制迴文數，但回文性質可延伸到任何記數系統的自然數。以b（b≥2）為底的數n（n＞0）可按標準方式表示為k＋1個數 $a_{i}$ ，即

n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}

其中，如慣例，對所有i 都要求 $0\leq a_{i}\leq b$ ，且 $a_{k}\neq 0$ 。則n稱為迴文數，若且唯若對所有i 都有 $a_{i}=a_{k-i}$ 。零在任何基均寫作0並由定義認為它也是迴文數。

另一種等價定義如下：在任何基b，若且唯若：

n是一位數，或
n為兩位相同數字，或
n由三位或更多數字組成，其首位和末位數字相同，且從n中去掉該首位和末尾數字後的數也是回文

的數n稱為回文。

十進制

10 基數中所有單位數｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9｝都是迴文數。

兩位迴文數有9個：

｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝

三位迴文數有90個：

｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝

四位迴文數也有90個：

｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝

小於10⁴的迴文數共199個，小於10⁵的迴文數有1099個，對其它的10的整數冪10ⁿ來說，分別有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…（OEIS數列A070199）個迴文數。下表列出了一些常見類型的迴文數在這些10的冪為界限下的個數（其中包括將0也作為迴文數）：

	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
n為自然數	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n為偶數	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n為奇數	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n為完全平方數	3		6		13	14	19		＋	＋
n為質數	4	5	20		113		781		5953
n為因數中不含平方數的數	6	12	67	120	675	＋	＋	＋	＋	＋
n為可被某平方數整除的數（即μ(n)＝0）	3	6	41	78	423	＋	＋	＋	＋	＋
n為質數的平方數	2		3		5
n有偶數個相異的質因子（即μ(n)＝1）	2	6	35	56	324	＋	＋	＋	＋	＋
n有奇數個相異的質因子（即μ(n)＝－1）	5	7	33	65	352	＋	＋	＋	＋	＋
n本身為偶數並有奇數個質因子
n本身為偶數並有奇數個相異的質因子	1	2	9	21	100	＋	＋	＋	＋	＋
n本身為奇數並有奇數個質因子	0	1	12	37	204	＋	＋	＋	＋	＋
n本身為奇數並有奇數個相異的質因子	0	0	4	24	139	＋	＋	＋	＋	＋
n本身為偶數且因子中無平方數、有偶數個相異質因子	1	2	11	15	98	＋	＋	＋	＋	＋
n本身為奇數且因子中無平方數、有偶數個相異質因子	1	4	24	41	226	＋	＋	＋	＋	＋
n為奇數並有正好兩個質因子	1	4	25	39	205	＋	＋	＋	＋	＋
n為偶數並有正好兩個質因子	2	3	11		64	＋	＋	＋	＋	＋
n為偶數並有正好三個質因子	1	3	14	24	122	＋	＋	＋	＋	＋
n為偶數並有正好三個相異的質因子
n為奇數並有正好三個質因子	0	1	12	34	173	＋	＋	＋	＋	＋
n為卡麥可數	0	0	0	0	0	1＋	＋	＋	＋	＋
n為滿足σ(n)是迴文數的數	6	10	47	114	688	＋	＋	＋	＋	＋

其它基數

十進制以外的數系也有迴文數，如二進制迴文數有：

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上這些數在十進制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…（OEIS數列A006995）。梅森質數是二進制回文質數的子集。

某基數的迴文數在另一基數通常不是迴文數，像16461₁₀＝404D₁₆（下標數字表示基數，n₁₆表示以十六進制寫出的n）。然而，有些數字在幾套進制都是迴文數（稱為「協回文」，copalindromic），如105₁₀在五套不同進制都是迴文數：1221₄＝151₈＝77₁₄＝55₂₀＝33₃₄；十進制數1991在十六進制為7C7，也是回文。

7的一些冪在18進制是回文：

7³＝ 111
7⁴＝ 777
7⁶＝ 12321
7⁹＝1367631

任何數n在所有b≥n＋1的基數b都是回文（這時n是單位數）；在基為n－1時同樣也是迴文數（這時n就成了11_n－1）。如果對於2≤b≤n－2，某數在基b都是非迴文數，則稱其是嚴格非迴文數（Strictly non-palindromic number）。如6在二進制是110，三進制是20，四進制是12，都不是回文數，是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數，首幾項：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… （OEIS數列A016038）。

參見

利克瑞爾數（Lychrel number）
回文
回文質數

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 徐連信. C语言程序设计. 清華大學出版社. 2005.

外部連結

Jason Doucette－196迴文數探索 / 最終產生迴文數中迭代次數最多的（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
196及其它利克瑞爾數（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
10萬以下的迴文數（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）來自Ask Dr. Math

[xu05-1] 1.0 ^1.1 徐連信. C语言程序设计. 清華大學出版社. 2005.

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