回文数
迴文数或回文数是指像14641这样“对称”的数,即:将这数的位数反转排列得到的“倒序数”[1]:94或“反序数”[1]:59和原数一样。这里,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样,正读反读都相同的单词或句子。
回文数在休闲数学领域备受关注,典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数,如
巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》(Synergetics)把回文数也叫做沙拉扎数(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。
任何进位制都有无限个回文数;101、1001、10001、…(一个1后接n个0再后接一个1)等各项在任何进制都是回文数,可组成有无限项的序列,这进制的回文数有无限(其中包括但不限于该序列中的无限项)。
正式定义
虽然通常考虑十进制回文数,但回文性质可延伸到任何记数系统的自然数。以b(b≥2)为底的数n(n>0)可按标准方式表示为k+1个数,即
其中,如惯例,对所有i 都要求,且。则n称为回文数,当且仅当对所有i 都有。零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。
另一种等价定义如下:在任何基b,当且仅当:
- n是一位数,或
- n为两位相同数字,或
- n由三位或更多数字组成,其首位和末位数字相同,且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文
的数n称为回文。
十进制
10基数中所有单位数{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}都是回文数。
两位回文数有9个:
- {11、22、33、44、55、66、77、88、99}
三位回文数有90个:
- {101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999}
四位回文数也有90个:
- {1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999}
小于104的回文数共199个,小于105的回文数有1099个,对其它的10的整数幂10n来说,分别有:1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…(OEIS数列A070199)个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数(其中包括将0也作为回文数):
101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 1010 | |
n为自然数 | 10 | 19 | 109 | 199 | 1099 | 1999 | 10999 | 19999 | 109999 | 199999 |
n为偶数 | 5 | 9 | 49 | 89 | 489 | 889 | 4889 | 8889 | 48889 | 88889 |
n为奇数 | 5 | 10 | 60 | 110 | 610 | 1110 | 6110 | 11110 | 61110 | 111110 |
n为完全平方数 | 3 | 6 | 13 | 14 | 19 | + | + | |||
n为素数 | 4 | 5 | 20 | 113 | 781 | 5953 | ||||
n为因数中不含平方数的数 | 6 | 12 | 67 | 120 | 675 | + | + | + | + | + |
n为可被某平方数整除的数(即μ(n)=0) | 3 | 6 | 41 | 78 | 423 | + | + | + | + | + |
n为素数的平方数 | 2 | 3 | 5 | |||||||
n有偶数个相异的素因子(即μ(n)=1) | 2 | 6 | 35 | 56 | 324 | + | + | + | + | + |
n有奇数个相异的素因子(即μ(n)=-1) | 5 | 7 | 33 | 65 | 352 | + | + | + | + | + |
n本身为偶数并有奇数个素因子 | ||||||||||
n本身为偶数并有奇数个相异的素因子 | 1 | 2 | 9 | 21 | 100 | + | + | + | + | + |
n本身为奇数并有奇数个素因子 | 0 | 1 | 12 | 37 | 204 | + | + | + | + | + |
n本身为奇数并有奇数个相异的素因子 | 0 | 0 | 4 | 24 | 139 | + | + | + | + | + |
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 | 1 | 2 | 11 | 15 | 98 | + | + | + | + | + |
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 | 1 | 4 | 24 | 41 | 226 | + | + | + | + | + |
n为奇数并有正好两个素因子 | 1 | 4 | 25 | 39 | 205 | + | + | + | + | + |
n为偶数并有正好两个素因子 | 2 | 3 | 11 | 64 | + | + | + | + | + | |
n为偶数并有正好三个素因子 | 1 | 3 | 14 | 24 | 122 | + | + | + | + | + |
n为偶数并有正好三个相异的素因子 | ||||||||||
n为奇数并有正好三个素因子 | 0 | 1 | 12 | 34 | 173 | + | + | + | + | + |
n为卡迈克尔数 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1+ | + | + | + | + |
n为满足σ(n)是回文数的数 | 6 | 10 | 47 | 114 | 688 | + | + | + | + | + |
其它基数
- 0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…
以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…(OEIS数列A006995)。梅森素数是二进制回文素数的子集。
某基数的回文数在另一基数通常不是回文数,像1646110=404D16(下标数字表示基数,n16表示以十六进制写出的n)。然而,有些数字在几套进制都是回文数(称为“协回文”,copalindromic),如10510在五套不同进制都是回文数:12214=1518=7714=5520=3334;十进制数1991在十六进制为7C7,也是回文。
7的一些幂在18进制是回文:
- 73= 111
- 74= 777
- 76= 12321
- 79=1367631
任何数n在所有b≥n+1的基数b都是回文(这时n是单位数);在基为n-1时同样也是回文数(这时n就成了11n-1)。如果对于2≤b≤n-2,某数在基b都是非回文数,则称其是严格非回文数(Strictly non-palindromic number)。如6在二进制是110,三进制是20,四进制是12,都不是回文数,是严格非回文数。这样的数其中一种特质是6以上的数都是质数,首几项:1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… (OEIS数列A016038)。
参见
参考文献
外部链接
- Jason Doucette-196回文数探索 / 最终产生回文数中迭代次数最多的(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 196及其它利克瑞尔数(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 10万以下的回文数(页面存档备份,存于互联网档案馆)来自Ask Dr. Math