化圓為方

化圓為方：求一正方形，其面積和一已知圓的面積相同。

化圓為方是古希臘數學裡尺規作圖領域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺規作圖三大難題。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺規能夠化圓為方，那麼必然能夠從單位長度出發，用尺規作出長度為$\pi$的線段。

進入十九世紀後，隨著群論和域論的發展，數學家對三大難題有了本質性的了解。尺規作圖問題可以歸結為判定某些數是否滿足特定的條件，滿足條件的數也被稱為規矩數。所有規矩數都是代數數。而1882年，數學家林德曼證明了$\pi$為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。

如果放寬尺規作圖的限制或允許使用其他工具，化圓為方的問題是可行的。如藉助西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德螺線等。

背景簡介

尺規作圖法

主條目：尺規作圖

在敘述化圓為方問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的「直尺和圓規畫圖可能性」問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：

直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，將兩個端點同時移動，或者只固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：

• 通過兩個已知點，作一直線。
• 已知圓心和半徑，作一個圓。
• 若兩已知直線相交，確定其交點。
• 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
• 若兩已知圓相交，確定其交點。

尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：「給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？」比如：「給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？」，等等。

問題敘述

化圓為方問題的完整敘述是：

“ 給定一個圓，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，於有限次內作出一個正方形，使得它的面積等於圓的面積 ”

如果將圓的半徑定為單位長度，則化圓為方問題的實質是作出長度為單位長度${\sqrt {\pi }}$倍的線段。

不可能性的證明

主條目：規矩數

圓周率的超越性

化圓為方問題是指已知單位長度1，要作出${\sqrt {\pi }}$的長度。這等價於從1開始作出$\pi$。然而，能夠用尺規作出的數z都有對應的最小多項式。也就是說，存在有理係數的多項式m，使得

$m(z)=0.$

然而，1882年，林德曼等人證明了對於圓周率$\pi$來說，這樣的多項式不存在。數學家將這樣的數稱為超越數，而將有對應的多項式的數稱為代數數。所有規矩數都是代數數，而$\pi$不是，這說明用尺規作圖是無法化圓為方的。

林德曼證明$\pi$的超越性用到了現在稱為林德曼－魏爾斯特拉斯定理的結論。林德曼－魏爾斯特拉斯定理說明，如果若干個代數數$z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n}$在有理數域$\mathbb {Q}$上線性獨立，那麼$e^{z_{1}},e^{z_{2}},\cdots ,e^{z_{n}}$也在$\mathbb {Q}$上線性獨立。反設$\pi$是代數數，那麼$\pi i$也是代數數。考慮代數數0和$\pi i$，由於$\pi i$是無理數，所以它們在$\mathbb {Q}$上線性獨立。然而$e^{0}$和$e^{\pi i}$分別是1和-1，並非在$\mathbb {Q}$上線性獨立，矛盾。這說明$\pi$不是代數數，而是超越數。

另見

• 印第安納圓周率法案

外部連結

• HPM 通訊第6卷第6期, 3大作圖題 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 介紹如何使用其他曲線（或幾何特性）再加上尺規作圖，來求解化圓為方問題。