在數值分析中,割線法是一個求根算法,該方法用一系列割線的根來近似代替函數f的根。
方法
割線法由以下的遞迴關係定義:
從上式中可以看出,割線法需要兩個初始值x0和x1,它們離函數的根越近越好。
方法的推導
給定xn−1和xn,我們作通過點(xn−1, f(xn−1))和(xn, f(xn))的直線,如右圖所示。注意這條直線是函數f的割線,或弦。這條割線的點斜式直線方程式為:
我們現在選擇xn+1為這條割線的根,因此xn+1滿足以下的方程式:
解這個方程式,便可以得出割線法的遞迴關係。
收斂
如果初始值x0和x1離根足夠近,則割線法的第n次疊代x收斂於f的一個根。收斂速率為α,其中:
是黃金比。特別地,收斂速率是超線性的。
這個結果只在某些條件下才成立,例如f是連續的二階可導函數,且函數的根不是重根。
如果初始值離根太遠,則不能保證割線法收斂。