割線法

在數值分析中，割線法是一個求根算法，該方法用一系列割線的根來近似代替函數f的根。

方法

割線法的最初兩個疊代。紅色曲線表示函數f，藍色曲線表示割線。

割線法由以下的遞歸關係定義：

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}f(x_{n}).$

從上式中可以看出，割線法需要兩個初始值x₀和x₁，它們離函數的根越近越好。

方法的推導

給定x_n−1和x_n，我們作通過點(x_n−1, f(x_n−1))和(x_n, f(x_n))的直線，如右圖所示。注意這條直線是函數f的割線，或弦。這條割線的點斜式直線方程為：

$y-f(x_{n})={\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x-x_{n}).$

我們現在選擇x_n+1為這條割線的根，因此x_n+1滿足以下的方程：

$f(x_{n})+{\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x-x_{n})=0.$

解這個方程，便可以得出割線法的遞歸關係。

收斂

如果初始值x₀和x₁離根足夠近，則割線法的第n次疊代x收斂於f的一個根。收斂速率為α，其中：

$\alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$

是黃金比。特別地，收斂速率是超線性的。

這個結果只在某些條件下才成立，例如f是連續的二階可導函數，且函數的根不是重根。

如果初始值離根太遠，則不能保證割線法收斂。