凱萊定理

在群論中，凱萊定理（英語：Cayley's Theorem）聲稱所有群 $G$ 都與在 $G$ 上的對稱群 $S_{G}$ 的一個子群同構。這代表我們可以將 $G$ 的群運算視為在 $G$ 的元素上的群作用。該定理以英國數學家阿瑟·凱萊命名。

集合 $G$ 的置換是任何從 $G$ 到 $G$ 的對射函數。由所有置合構成集合與函數複合共同構成了一個群，稱為「 $G$ 上的對稱群」，並記為 ${\text{Sym}}(G)$。

凱萊定理通過把任何群（包括無限群，如 $(\mathbb {R} ,+)$）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史

Burnside 將其歸功於Jordan，但是 Eric Nummela爭論說這個定理的名字「凱萊定理」事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的證明

令 $G$ 為一個群，由反元素的唯一性可以得出對於任何 $G$ 中元素 $g$ ，有 $g\cdot G=G$ ，以及 $gx=gy\iff x=y$ 其中 $\iff$ 是邏輯關係若且唯若的記號。所以左乘 $g$ 充當了對射函數 $f_{g}:G\rightarrow G$ ，其定義為 $f_{g}(x)=g\cdot x$。所以， $f_{g}$ 是 $G$ 的置換，並因此是 ${\text{Sym}}(G)$ 的一個元素。

如下定義 ${\text{Sym}}(G)$ 的子集 $K$

$K=\{f_{g}\mid g\in G;$ 並且對所有$x\in G$ 有 $f_{g}(x)=g\cdot x\}$

$K$ 是同構於 $G$ 的一個子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 $T:G\rightarrow {\text{Sym}}(G)$ ， $T(g)=f_{g}$ 。(對 ${\text{Sym}}(G)$ 中的複合使用"·")， $T$ 是一個群同態，這是因為所有 $G$ 中的 $x$ ，有

$(f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h\cdot x)=g\cdot (h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x=f_{g\cdot h}(x)$

$T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g\cdot h}=T(g\cdot h)$

同態 $T$ 也是一個單射，因為 $T(g)=id_{G}$ （${\text{Sym}}(G)$ 中的單位元素）蘊含了對於所有 $G$ 中使得 $g\cdot x=x$ 的 $x$ 。選取x為G的單位元素e產生g = g*e = e。

另一個 $T$ 為單射的證明是因為可以從 $g\cdot x=g\cdot x'$ 推出 $x=x'$ 。

因此 $G$ 同構於 $T$ 的像，即子群 $K$ 。

$T$ 有時叫做 $G$ 的正規表示。

另一個的證明

另一個證明使用了群作用的概念。考慮群$G$為G-集合，可以證明它有置換表示$\phi$。

首先假設$G=G/H$帶有$H=\{e\}$。則根據G-軌道分類這個群作用是$g.e$（也叫做軌道-穩定集定理）。

現在這個表示是忠實的，如果$\phi$是單射，就是說，如果$\phi$的核是平凡的。假設$g$ ∈ ker $\phi$，則$g=g.e=\phi (g).e$，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為$g$ ∈ ker $\phi$, $\phi (g)=e$並因此ker $\phi$是平凡的。則im $\phi <G$並因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記

單位元素對應於恆等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小於這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。

正規群表示的例子

Z₂ = {0,1}帶有模2加法，群元素0對應於恆等置換e，群元素1對應於置換 (12)。

Z₃ = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對應於恆等置換e，群元素1對應於置換 (123)，而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。

Z₄ = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S₃（6階二面體群）是三個對象的所有置換的群，但也是6個群元素的置換群：

*	e	a	b	c	d	f	置換
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

參見

• 米田引理