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凱萊定理

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群論中,凱萊定理(英語:Cayley's Theorem)聲稱所有 都與在 上的對稱群 的一個子群同構。這代表我們可以將 群運算視為在 的元素上的群作用。該定理以英國數學家阿瑟·凱萊命名。

集合 置換是任何從 雙射函數。由所有置合構成集合與函數複合共同構成了一個群,稱為「 上的對稱群」,並記為

凱萊定理通過把任何群(包括無限群,如 )都當作某個底層集合的置換群,把所有群都放在了同一個根基上。因此,對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史

Burnside[1] 將其歸功於Jordan[2],但是 Eric Nummela[3]爭論說這個定理的名字「凱萊定理」事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文[4]中證明了定理中的對應是一一對應,但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是,Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果,因此比Jordan要提前了16年。

定理的證明

為一個群,由逆元的唯一性可以得出對於任何 中元素 ,有 ,以及 其中 是邏輯關係當且僅當的記號。所以左乘 充當了雙射函數 ,其定義為 。所以, 的置換,並因此是 的一個元素。

如下定義 的子集

並且對所有

是同構於 的一個子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 。(對 中的複合使用"·"), 是一個群同態,這是因為所有 中的 ,有

同態 也是一個單射,因為 中的單位元)蘊含了對於所有 中使得 。選取xG的單位元e產生g = g*e = e

另一個 為單射的證明是因為可以從 推出

因此 同構於 的像,即子群

有時叫做 的正規表示。

另一個的證明

另一個證明使用了群作用的概念。考慮群為G-集合,可以證明它有置換表示

首先假設帶有。則根據G-軌道分類這個群作用是(也叫做軌道-穩定集定理)。

現在這個表示是忠實的,如果是單射,就是說,如果的核是平凡的。假設 ∈ ker ,則,通過置換表示和群作用的等價性。但是因為 ∈ ker , 並因此ker 是平凡的。則im 並因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記

單位元對應於恆等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪,小於這個元素的階,每個元素對應於由相同長度的環構成的置換:這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集

正規群表示的例子

Z2 = {0,1}帶有模2加法,群元素0對應於恆等置換e,群元素1對應於置換 (12)。

Z3 = {0,1,2}帶有模3加法;群元素0對應於恆等置換e,群元素1對應於置換 (123),而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。

Z4 = {0,1,2,3}帶有模4加法;它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S36階二面體群)是三個對象的所有置換的群,但也是6個群元素的置換群:

* e a b c d f 置換
e e a b c d f e
a a e d f b c (12)(35)(46)
b b f e d c a (13)(26)(45)
c c d f e a b (14)(25)(36)
d d c a b f e (156)(243)
f f b c a e d (165)(234)

引用

  1. ^ Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order 2, Cambridge, 1911 
  2. ^ Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870 
  3. ^ Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, 1980, 87 (3): 202–203 
  4. ^ Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, Phil. Mag., 1854, 7 (4): 40–47 

參見