在群論中,凱萊定理(英語:Cayley's Theorem)聲稱所有群 都與在 上的對稱群 的一個子群同構。這代表我們可以將 的群運算視為在 的元素上的群作用。該定理以英國數學家阿瑟·凱萊命名。
集合 的置換是任何從 到 的雙射函數。由所有置合構成集合與函數複合共同構成了一個群,稱為「 上的對稱群」,並記為 。
凱萊定理通過把任何群(包括無限群,如 )都當作某個底層集合的置換群,把所有群都放在了同一個根基上。因此,對置換群成立的定理對於一般群也成立。
歷史
Burnside[1]
將其歸功於Jordan[2],但是
Eric Nummela[3]爭論說這個定理的名字「凱萊定理」事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文[4]中證明了定理中的對應是一一對應,但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是,Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果,因此比Jordan要提前了16年。
定理的證明
令 為一個群,由逆元的唯一性可以得出對於任何 中元素 ,有 ,以及 其中 是邏輯關係當且僅當的記號。所以左乘 充當了雙射函數 ,其定義為 。所以, 是 的置換,並因此是 的一個元素。
如下定義 的子集
- 並且對所有 有
是同構於 的一個子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 , 。(對 中的複合使用"·"), 是一個群同態,這是因為所有 中的 ,有
同態 也是一個單射,因為 ( 中的單位元)蘊含了對於所有 中使得 的 。選取x為G的單位元e產生g = g*e = e。
另一個 為單射的證明是因為可以從 推出 。
因此 同構於 的像,即子群 。
有時叫做 的正規表示。
另一個的證明
另一個證明使用了群作用的概念。考慮群為G-集合,可以證明它有置換表示。
首先假設帶有。則根據G-軌道分類這個群作用是(也叫做軌道-穩定集定理)。
現在這個表示是忠實的,如果是單射,就是說,如果的核是平凡的。假設 ∈ ker ,則,通過置換表示和群作用的等價性。但是因為 ∈ ker , 並因此ker 是平凡的。則im 並因此利用第一同構定理得出結論。
對正規群表示的注記
單位元對應於恆等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪,小於這個元素的階,每個元素對應於由相同長度的環構成的置換:這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。
正規群表示的例子
Z2 = {0,1}帶有模2加法,群元素0對應於恆等置換e,群元素1對應於置換 (12)。
Z3 = {0,1,2}帶有模3加法;群元素0對應於恆等置換e,群元素1對應於置換 (123),而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。
Z4 = {0,1,2,3}帶有模4加法;它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。
克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。
S3(6階二面體群)是三個對象的所有置換的群,但也是6個群元素的置換群:
*
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
置換
|
e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
a
|
a |
e |
d |
f |
b |
c |
(12)(35)(46)
|
b
|
b |
f |
e |
d |
c |
a |
(13)(26)(45)
|
c
|
c |
d |
f |
e |
a |
b |
(14)(25)(36)
|
d
|
d |
c |
a |
b |
f |
e |
(156)(243)
|
f
|
f |
b |
c |
a |
e |
d |
(165)(234)
|
引用
- ^ Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order 2, Cambridge, 1911
- ^ Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870
- ^ Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, 1980, 87 (3): 202–203
- ^ Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, Phil. Mag., 1854, 7 (4): 40–47
參見