克爾度規

廣義相對論中，克爾度規（英語：Kerr metric）或稱克爾真空（英語：Kerr vacuum），描述的一旋轉、球對稱之質量龐大物體（例如：黑洞）週遭真空區域的時空幾何。其為廣義相對論的精確解，故又稱克爾解；廣義相對論的主導方程式——愛因斯坦場方程式是非線性的，找出其精確解是相當困難的任務。

克爾度規是史瓦西度規（1915年）的推廣，後者用以描述靜態不旋轉、球對稱且不帶電荷的龐大物體週遭真空區域的時空幾何。在有帶電荷的情形，史瓦西度規轉成萊斯納-諾德斯特洛姆度規（1916年–1918年）。約瑟夫·冷澤和漢斯·提爾苓曾使用弱場近似方法得到過旋轉軸對稱球狀物體度規的近似解。直到在1963年方由羅伊·克爾提出精確解。，但他並沒有給出推導過程。1973年Schiffer等人給出了克爾度規的推導。

克爾度規的帶電荷版本為克爾-紐曼度規（1965年），以上四個相關的解可整理為如下表格：

	不旋轉 (J = 0)	旋轉 (J ≠ 0)
不帶電荷 (Q = 0)	史瓦西度規	克爾度規
帶電荷 (Q ≠ 0)	萊斯納-諾德斯特洛姆度規	克爾-紐曼度規

其中Q代表物體所帶電荷，而J代表物體的自轉角動量。

克爾度規的數學表示

若以波以耳-林德奎斯特座標寫出克爾真空解，則為：

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}$

$+\ \Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+\left(\Delta +{\frac {2Mr(r^{2}+a^{2})}{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}$

其中

$\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$,

$\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}$,

• M為旋轉物體質量；
• a為自轉參數（spin parameter）或稱特定角動量（specific angular momentum），描述此物體的旋轉，與角動量J有關，關係式為a = J/M；
• 所有的物理量採用幾何單位：c=G=1。

當自轉參數a值為零，則表示物體無旋轉，克爾度規退化成史瓦西度規。a=M的例子對應到最大旋轉程度的質量物體。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特徑向座標 r 並無簡單而直接、如同徑向座標般的詮釋。
• 「最大」旋轉程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋轉質量物體可以具有的最大a值。

參看

• 史瓦西度規（Schwarzschild metric）
• 克爾-紐曼度規（Kerr-Newman metric）
• 萊斯納-諾德斯特洛姆度規（Reissner-Nordström metric）

延伸閱讀

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius & Herlt, Eduard. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-46136-8. 
• O'Neill, Barrett. The Geometry of Kerr Black Holes. Wellesley, MA: A. K. Peters. 1995. ISBN 978-1-56881-019-5. 
• D'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-859686-8.  See chapter 19 for a readable introduction at the advanced undergraduate level.
• Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-850370-5.  See chapters 6--10 for a very thorough study at the advanced graduate level.
• Griffiths, J. B. Colliding Plane Waves in General Relativity. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 978-0-19-853209-5.  See chapter 13 for the Chandrasekhar/Ferrari CPW model.
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity Second Edition. New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 978-0-07-000423-8.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) See chapter 7.
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• Sotiriou, Thomas P.; and Apostolatos, Theocharis A. Corrections and Comments on the Multipole Moments of Axisymmetric Electrovacuum Spacetimes. Class. Quant. Grav. 2004, 21: 5727–5733. arXiv eprint （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electrogmagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
• Penrose R. ed C. de Witt and J. Wheeler , 編. Battelle Rencontres. W. A. Benjamin, New York. 1968: 222. 
• "The Classical Theory of Fields", L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fourth revised English edition, Elsevier, Amsterdam ... London, New York ... Tokyo, 1975 (based on B. Carter, 1968).
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