克尔度规

广义相对论中，克尔度规（英语：Kerr metric）或称克尔真空（英语：Kerr vacuum），描述的一旋转、球对称之质量庞大物体（例如：黑洞）周遭真空区域的时空几何。其为广义相对论的精确解，故又称克尔解；广义相对论的主导方程式——爱因斯坦场方程式是非线性的，找出其精确解是相当困难的任务。

克尔度规是史瓦西度规（1915年）的推广，后者用以描述静态不旋转、球对称且不带电荷的庞大物体周遭真空区域的时空几何。在有带电荷的情形，史瓦西度规转成莱斯纳-诺德斯特洛姆度规（1916年–1918年）。约瑟夫·冷泽和汉斯·提尔苓曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直到在1963年方由罗伊·克尔提出精确解。，但他并没有给出推导过程。1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导。

克尔度规的带电荷版本为克尔-纽曼度规（1965年），以上四个相关的解可整理为如下表格：

	不旋转 (J = 0)	旋转 (J ≠ 0)
不带电荷 (Q = 0)	史瓦西度规	克尔度规
带电荷 (Q ≠ 0)	莱斯纳-诺德斯特洛姆度规	克尔-纽曼度规

其中Q代表物体所带电荷，而J代表物体的自转角动量。

克尔度规的数学表示

若以波以耳-林德奎斯特座标写出克尔真空解，则为：

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}$

$+\ \Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+\left(\Delta +{\frac {2Mr(r^{2}+a^{2})}{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}$

其中

$\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$,

$\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}$,

• M为旋转物体质量；
• a为自转参数（spin parameter）或称特定角动量（specific angular momentum），描述此物体的旋转，与角动量J有关，关系式为a = J/M；
• 所有的物理量采用几何单位：c=G=1。

当自转参数a值为零，则表示物体无旋转，克尔度规退化成史瓦西度规。a=M的例子对应到最大旋转程度的质量物体。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特径向座标 r 并无简单而直接、如同径向座标般的诠释。
• “最大”旋转程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋转质量物体可以具有的最大a值。

参看

• 史瓦西度规（Schwarzschild metric）
• 克尔-纽曼度规（Kerr-Newman metric）
• 莱斯纳-诺德斯特洛姆度规（Reissner-Nordström metric）

延伸阅读

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius & Herlt, Eduard. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-46136-8. 
• O'Neill, Barrett. The Geometry of Kerr Black Holes. Wellesley, MA: A. K. Peters. 1995. ISBN 978-1-56881-019-5. 
• D'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-859686-8.  See chapter 19 for a readable introduction at the advanced undergraduate level.
• Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-850370-5.  See chapters 6--10 for a very thorough study at the advanced graduate level.
• Griffiths, J. B. Colliding Plane Waves in General Relativity. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 978-0-19-853209-5.  See chapter 13 for the Chandrasekhar/Ferrari CPW model.
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity Second Edition. New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 978-0-07-000423-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link) See chapter 7.
• Perez, Alejandro; and Moreschi, Osvaldo M. Characterizing exact solutions from asymptotic physical concepts. 2000. Dec 2000 arXiv:gr-qc/001210027 Dec 2000  .  Characterization of three standard families of vacuum solutions as noted above.
• Sotiriou, Thomas P.; and Apostolatos, Theocharis A. Corrections and Comments on the Multipole Moments of Axisymmetric Electrovacuum Spacetimes. Class. Quant. Grav. 2004, 21: 5727–5733. arXiv eprint （页面存档备份，存于互联网档案馆） Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electrogmagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
• Penrose R. ed C. de Witt and J. Wheeler , 编. Battelle Rencontres. W. A. Benjamin, New York. 1968: 222. 
• "The Classical Theory of Fields", L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fourth revised English edition, Elsevier, Amsterdam ... London, New York ... Tokyo, 1975 (based on B. Carter, 1968).
• B. Carter, Phys. Rev. Lett. 26, 331, 1971