2i

  此条目页的主题是一个虚数。关于2i的其他意义和用法，请见“2I”。

2i

2i
数表 — 高斯整数 << −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>
$2i$在高斯平面上的位置
命名
名称	2i 负四的平方根 二虚数单位
性质
高斯整数分解	$(1+i)^{2}$
绝对值	2
以此为根的多项式或函数	$x^{2}+4=0$
表示方式
值	2倍虚数单位 $2i$
代数形式	$2{\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-4}}$
十进制	2i
-1+i进制	1110100
2i进制	10

高斯整数导航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

$2i$是在虚轴正向距离原点两个单位的纯虚数，属于高斯整数，为虚数单位的两倍，同时也是负四的平方根，是方程式$x^{2}+4=0$的正虚根。日常生活中通常不会用$2i$来计量事物，例如无法具体地描述何谓$2i$个人，逻辑上$2i$个人并没有意义。部分书籍或教科书偶尔会使用$2i$来做虚数的例子或题目。

在高斯平面上，与$2i$相邻的高斯整数有$i$和$3i$（上下相邻；纯虚数）以及$2i-1$和$2i+1$（左右相邻），然而复数不具备有序性，即无法判断$2i$与$3i$间的大小关系，因此无法定义$i$与$3i$何者为$2i$的前一个虚数、何者为$2i$的下一个虚数。

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
与$2i$相邻的高斯整数示意图

性质

• $2i$不属于实数，是一个纯虚数，同时也是复数位于复平面，其实部为0、虚部为2，辐角为90度（${\frac {\pi }{2}}$弧度），其也能表达为$2e^{i\pi /2}$或$2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)$。
• $2i$是一个高斯整数，高斯整数分解为$(1+i)^{2}$，或$(1+i)(1+i)$，其中，1+i为2i的高斯素因数。
• 所有复数的可以表达为$2i$之幂的线性组合。换句话说若进位制以$2i$为底数，则可独一无二地表示全体复数。该进制称为2i进制，由高德纳于1955年发现。
• 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以$2i$的商，换言之，则$z-z^{*}=2i\,Im(z)$。

  $Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}$

• 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以$2i$的商。

  $\sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

• $2i$等于最小的素数和虚数单位的积，即$p_{_{1}}\times i=2i$，其中$p_{n}$为第$n$个素数。
• 虚数单位和虚数单位的倒数相差$2i$。
• 任意数与$2i$相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。

2i的幂

$2i$的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其会在实部和虚部交错变换，其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中，实数项为−4的幂 ，虚数的正值项为16的幂的2倍 、虚数的负值项为16的幂的−8倍，因此这种特性使得$2i$作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数，并且有研究以此特性设计复数运算电路。

2i的平方根

$2i$的平方根正好是实数单位与虚数单位的和，即${\sqrt {2i}}=1+i$，反过来说$2i$正好是实数单位与虚数单位相加的平方，$(1+i)^{2}=2i$。若考虑平方根的正负，则1+i和−1−i都是$2i$的平方根。

相关数字

−2i

$-2i$是$2i$的相反数，其平方根曾提议作为复数进位制的底数。

1+i

$1+i$是$2i$的平方根，同时也是高斯素数。由于其幂次为1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正负、虚实交替变化，因此若作为进位制底数可以表达全体复数。但其组合变化相较于$-1+i$为底数的进位制，$-1+i$做为底数更为适合。亦有另外一个数也为$2i$的平方根，即$-1-i$，但这个数较少出现于探讨进位制底数的文章中，也没有其他特殊的性质。此外，$-1-i$也不是第一象限高斯素数，因此鲜少被拿出来讨论。

−1+i

−1+i

−1+i
命名
名称	−1+i
性质
高斯整数分解	${\displaystyle }$$i\times \left(1+i\right)$
绝对值	${\sqrt {2}}$
表示方式
值	$-1+i$
代数形式	${\sqrt {-2i}}$
十进制	−1+i
2i进制	113.2

在−1+i进位制系统中整数部分全为零的复数

参见：-1±i进制

$-1+i$是$-2i$的平方根。距离原点${\sqrt {2}}$单位，辐角为135度（${\frac {3\pi }{4}}$弧度），其实部为负一、虚部为1。$-1+i$不是高斯素数，其可以分解为i和1+i的乘积。由于其幂次为−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正负、虚实交替变化，因此其可以构建一个以$-1+i$为底数并用1和0表达复数的进位制。其他复数虽然也可以，如$1-i$，但对高斯整数而言，以$1-i$为底并不是一个优良的选择。虽然$1-i$也是$-2i$的平方根，但因为上述原因，所以$1-i$这个数字通不会用来作为进制的底数来使用。

除了$-1+i$外，其他$-n+i$形式的复数也能作为进位制底数，但其在表达数的范围不同，以$-1+i$为例，其表达的范围较为均匀，而$-2+i$、$-3+i$等则会越来越狭长。

−1+i进制与相关进制比较

十进制	二进制	2i进制	−1+i进制	−2+i进制
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	10	2	1100	2
−1	−1	103	11101	144
−2	−10	102	11100	143
i	i	10.2	11	12
2i	10i	10	1110100	24
3i	11i	20.2	1110111	1341
−i	−i	0.2	111	133
−2i	−10i	1030	100	121
−3i	−11i	1030.2	110011	13304
1+i	1+i	11.2	1110	13
1−i	1−i	1.2	111010	134
−1+i	−1+i	113.2	10	11
−1−i	−1−i	103.2	110	132
2+i	10+i	12.2	1111	14
2−i	10−i	2.2	111011	1440
−2+i	−10+i	112.2	11111	10
−2−i	−10−i	102.2	11101011	131

相邻的高斯整数

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
与$2i$相邻的高斯整数示意图

3i

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$3i$是在虚轴正向距离原点3个单位的纯虚数，是虚数单位的三倍，同时也是负九（−9）的平方根，与纯虚数2i和4i相邻、并与高斯整数−1+3i和1+3i相邻。

$3i$的为虚数单位与素数3的乘积，其中，3也是高斯素数，因此$3i$的高斯整数分解为${\displaystyle }$$i\times 3$。

−1+2i

$-1+2i$是在虚轴正向距离原点${\sqrt {5}}$个单位的高斯整数，其实部为负一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数−1+3i、−1+i和−2+2i相邻。

$-1+2i$不是高斯素数，其具有高斯素因数$2+i$。$-1+2i$的高斯整数分解为${\displaystyle }$$i\times \left(2+i\right)$。

1+2i

$1+2i$是一个高斯素数 ，在虚轴正向距离原点${\sqrt {5}}$个单位，其实部为一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i、1+i和3+2i相邻。

参见

• 虚数单位
• -2