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2i

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2i
2i
数表高斯整数
<< −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>

高斯平面上的位置
命名
名称2i
负四的平方根
二虚数单位
性质
高斯整数分解
绝对值2[1]
以此为的多项式或函数
表示方式
2倍虚数单位
代数形式
十进制2i
-1+i进制1110100
2i进制10
高斯整数导航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i

是在虚轴正向距离原点两个单位的纯虚数,属于高斯整数[2]:13,为虚数单位的两倍[2]:12,同时也是负四的平方根[2]:12[3][4]:ix[5][6][7][8],是方程式的正虚根[3][9]:10。日常生活中通常不会用来计量事物,例如无法具体地描述何谓个人,逻辑上个人并没有意义。[10]部分书籍或教科书偶尔会使用来做虚数的例子或题目。[11]

高斯平面上,与相邻的高斯整数有(上下相邻;纯虚数)以及(左右相邻),然而复数不具备有序性,即无法判断间的大小关系,因此无法定义何者为的前一个虚数、何者为的下一个虚数。

−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
相邻的高斯整数示意图

性质

  • 不属于实数,是一个纯虚数,同时也是复数位于复平面,其实部为0、虚部为2[12]辐角为90度(弧度)[13],其也能表达为[14]:7[15]
  • 是一个高斯整数[16][17][18]高斯整数分解[19]:711,或[20]:433,其中,1+i2i高斯素因数[19]:711[21][22]:247
  • 所有复数的可以表达为之幂的线性组合[23]换句话说若进位制为底数,则可独一无二地表示全体复数[24]。该进制称为2i进制,由高德纳1955年发现。[25]
  • 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以[26]换言之,则[2]:32
  • 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以的商。[27][28]:41[2]:64
  • 等于最小的素数虚数单位,即[15],其中为第个素数。
  • 虚数单位虚数单位倒数相差
  • 任意数与相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。[14]:7[2]:20-21

2i的幂

的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...[29],其会在实部和虚部交错变换,其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中,实数项为−4的幂[30] ,虚数的正值项为16的幂的2倍[31] 、虚数的负值项为16的幂的−8倍[32],因此这种特性使得作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数,[29]并且有研究以此特性设计复数运算电路[33]

2i的平方根

平方根正好是实数单位虚数单位,即[28]:3,反过来说正好是实数单位虚数单位相加的平方,[34][35]:388。若考虑平方根的正负,则1+i−1−i都是的平方根。

相关数字

−2i

的相反数,其平方根曾提议作为复数进位制的底数。[36]

1+i

平方根[28],同时也是高斯素数[37]。由于其幂次为1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...,在正负、虚实交替变化,因此若作为进位制底数可以表达全体复数。但其组合变化相较于为底数的进位制,做为底数更为适合。[38]亦有另外一个数也为的平方根,即,但这个数较少出现于探讨进位制底数的文章中,也没有其他特殊的性质。此外,也不是第一象限高斯素数,因此鲜少被拿出来讨论。

−1+i

−1+i
−1+i
命名
名称−1+i
性质
高斯整数分解
绝对值
表示方式
代数形式
十进制−1+i
2i进制113.2
−1+i进位制系统中整数部分全为零的复数

的平方根。距离原点单位,辐角135度(弧度[39]),其实部负一虚部为1。不是高斯素数,其可以分解为i1+i的乘积。由于其幂次为−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...,其在正负、虚实交替变化,因此其可以构建一个以为底数并用1和0表达复数的进位制[36][40]。其他复数虽然也可以,,但对高斯整数而言,以为底并不是一个优良的选择。[38]虽然也是的平方根,但因为上述原因,所以这个数字通不会用来作为进制的底数来使用。

除了外,其他形式的复数也能作为进位制底数,但其在表达数的范围不同,以为例,其表达的范围较为均匀,而等则会越来越狭长。[41]

−1+i进制与相关进制比较
十进制 二进制 2i进制 −1+i进制 −2+i进制
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 10 2 1100 2
−1 −1 103 11101 144
−2 −10 102 11100 143
i i 10.2 11 12
2i 10i 10 1110100 24
3i 11i 20.2 1110111 1341
i i 0.2 111 133
−2i −10i 1030 100 121
−3i −11i 1030.2 110011 13304
1+i 1+i 11.2 1110 13
1−i 1−i 1.2 111010 134
−1+i −1+i 113.2 10 11
−1−i −1−i 103.2 110 132
2+i 10+i 12.2 1111 14
2−i 10−i 2.2 111011 1440
−2+i −10+i 112.2 11111 10
−2−i −10−i 102.2 11101011 131

相邻的高斯整数

−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
相邻的高斯整数示意图

3i

是在虚轴正向距离原点3个单位的纯虚数,是虚数单位的三倍,同时也是负九(−9)的平方根,与纯虚数2i4i相邻、并与高斯整数−1+3i1+3i相邻。

的为虚数单位与素数3的乘积,其中,3也是高斯素数,因此的高斯整数分解为

−1+2i

是在虚轴正向距离原点个单位的高斯整数,其实部为负一、虚部为2i,与纯虚数2i相邻、并与高斯整数−1+3i−1+i−2+2i相邻。

不是高斯素数,其具有高斯素因数的高斯整数分解为

1+2i

是一个高斯素数 [37],在虚轴正向距离原点个单位,其实部为、虚部为2i,与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i1+i3+2i相邻。

参见

参考文献

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  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Mokhithi, Mashudu and Shock, Jonathan, Introduction to Complex Numbers (PDF), Jonathan Shock, 2020 [2022-06-23], (原始内容存档 (PDF)于2022-07-04) 
  3. ^ 3.0 3.1 Complex or Imaginary Numbers. themathpage.com. [2022-06-23]. (原始内容存档于2022-07-13). 
  4. ^ Hart, P. The Book of Imaginary Indians: Ancient Traditions and Modern Caricatures in the White Man's Quest for Meaning. iUniverse. 2008 [2022-06-23]. ISBN 9780595435036. (原始内容存档于2022-08-20). 
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