费马小定理(英语:Fermat's little theorem)是数论中的一个定理。假如是一个整数,是一个质数,那么是的倍数,可以表示为
如果不是的倍数,这个定理也可以写成更加常用的一种形式
- [1][注 1]
注:如果是的倍数,则
费马小定理的逆叙述不成立,即假如是的倍数,不一定是一个质数。例如是的倍数,但,不是质数。满足费马小定理的合数被称为费马伪素数。
历史
皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。
1736年,欧拉出版了一本名为“一些与素数有关的定理的证明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”[2]的论文集,其中第一次给出了证明。但从莱布尼茨未发表的手稿中发现他在1683年以前已经得到几乎是相同的证明。
有些数学家独立提出相关的假说(有时也被错误地称为中国猜想),当成立时,p是素数。这是费马小定理的一个特殊情况。然而,这一假说的前设是错的:例如,,而是一个伪素数。所有的伪素数都是此假说的反例。
卡迈克尔数
如上所述,中国猜想仅有一半是正确的。符合中国猜想但不是素数的数被称为伪素数。
更极端的反例是卡迈克尔数:
假设与561互质,则被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数,561是最小的卡迈克尔数。Korselt在1899年就给出了卡迈克尔数的等价定义,但直到1910年才由卡迈克尔(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡迈克尔数:561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡迈克尔数有无穷多个。
证明
方法一
(i)若是整数,是素数,且。若不能整除,则不能整除。取整数集为所有小于的正整数集合(构成的完全剩余系,即中不存在两个数同余),是中所有的元素乘以组成的集合。因为中的任何两个元素之差都不能被整除,所以中的任何两个元素之差也不能被整除。
换句话说,,考虑共个数,将它们分别除以,余数分别为,则集合为集合的重新排列,即在余数中恰好各出现一次;这是因为对于任两个相异而言(),其差不是的倍数(所以不会有相同余数),且任一个亦不为的倍数(所以余数不为0)。因此
即
在这里,且,因此将整个公式除以即得到:
- [3]
- 也即
(ii)若整除,则显然有整除,即。
方法二
若为素数,为整数,且。考虑二项式系数,并限定不为或,则由于分子有素数,但分母不含,故分子的能保留,不被约分而除去,即恒为的倍数[4]。
再考虑的二项式展开,模,则
因此
令,即得。[3]
方法三
在抽象代数教科书中,费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子[5]。显然只需考虑 情形。此时模 所有非零的余数,在同余意义下对乘法构成一个群,这个群的阶是 。考虑群中的任何一个元素 ,根据拉格朗日定理, 的阶必整除群的阶。证毕。
应用
- 计算除以13的余数
故余数为3。
- 证明对于任意整数a而言,恒为2730的倍数。
- 易由推得,其中为正整数。
- 故对指数13操作如下:13减1为12,12的正约数有1, 2, 3, 4, 6, 12,分别加1,为2, 3, 4, 5, 7, 13,其中2, 3, 5, 7, 13为素数,根据定理的延伸表达式,为2的倍数、为3的倍数、为5的倍数、为7的倍数、为13的倍数,即2*3*5*7*13=2730的倍数。
- 证明对于任意整数a而言,恒为3300的倍数。
证明
- 为132的倍数。
- 模仿前述操作,11减1为10,10的正约数有1, 2, 5, 10,分别加1,为2, 3, 6, 11,其中2, 3, 11为素数,因此为2, 3, 11的最小公倍数的倍数,即66的倍数。
- 考虑,因为奇数的11次方仍为奇数,且奇数与奇数之和为偶数,故当a为奇数时,为偶数;同理可知当a为偶数时,仍为偶数。因此当a为任意整数时,为偶数。
- 因此的倍数的倍数的倍数。
- 为25的倍数。
- 由后文的欧拉定理可知(当a与25互素时),即(当a为任意整数时)。因此为25的倍数。
- 因此为132与25的的最小公倍数的倍数,即3300的倍数。
推广
欧拉定理
费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况:如果 ,那么
这里 是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于 的正整数中与 互素的数的个数。假如 是一个素数,则 ,即费马小定理。
- 证明
上面证明费马小定理的群论方法,可以同理地证明欧拉定理。
考虑所有与 互素的数,这些数模 的余数所构成的集合,记为 ,并将群乘法定义为相乘后模 的同余。显然 是一个群,因为它对群乘法封闭(若 和 则 ),含幺元(即“1”),且任何一个元素 的逆元素也在集合中(因为若 则由群乘法封闭性任何 的幂次都在 中,所以 是 这个有限集的子集)。根据定义, 的阶是 ,于是根据拉格朗日定理, 中任何一个元素的阶必整除 。证毕。
卡迈克尔函数
卡迈克尔函数比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。
多项式除法
因为
所以由的结果可以得出的结果
用多项式除法可以得出除以的次数少于的余式
例如,由多项式除法得到,则
这个余式的一般结果是:
(除式)
n=0时为除式,用数学归纳法证明余式。[6]
- 求
注释
参见
参考
- ^ Fermat's Little Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆).WolframMathWorld.(英文)
- ^ A proof of certain theorems regarding prime numbers. [2012-12-11]. (原始内容存档于2015-06-16).
- ^ 3.0 3.1 许介彦. 費馬小定理 (PDF). 科学教育月刊 (私立大叶大学电机工程学系). 2006年10月, (第293期): 37–44 [2015-04-18]. (原始内容 (PDF)存档于2015-04-18).
- ^ How is (x+y)^p≡x^p+y^p mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. 2018-09-27 [2021-04-26]. (原始内容存档于2022-03-25) (英语).
- ^ 聂灵沼; 丁石孙. 代数学引论 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2000: 第33页. ISBN 7-04-008893-2.
- ^ 黄嘉威. 多项式除法解高次同余. 数学学习与研究. 2015, (9): 第104页 [2015-07-19]. (原始内容存档于2020-10-20).