在范畴论 中，范畴 这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论 。
一个范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
(
O
b
C
,
M
o
r
C
;
∘
)
{\displaystyle (\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}},\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}};\circ )}
一个由对象 （Ob ject）所构成的类
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
物件间的态射 Mor phism）所构成的类
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
f
∈
M
o
r
C
{\displaystyle f\in {\mathrm {Mor\ } }{\mathcal {C}}}
Dom ain）”
A
{\displaystyle A}
Cod omain）”
B
{\displaystyle B}
A
,
B
∈
O
b
C
{\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
一个 态射[ 注释 1]
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
H
o
m
C
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} \ (A,B)}
对任意态射对
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
∘
{\displaystyle \circ }
∘
(
−
,
−
)
:
H
o
m
(
A
,
B
)
×
H
o
m
(
B
,
C
)
→
H
o
m
(
A
,
C
)
,
(
f
,
g
)
↦
g
∘
f
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\circ (-,-)\colon \ &\mathrm {Hom} \ (A,B)\times \mathrm {Hom} \ (B,C)&\to &\quad \mathrm {Hom} \ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto &\quad g\circ f,\end{aligned}}}
其中，
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
g
f
{\displaystyle gf}
此态射复合满足下列公理：
（结合律）对态射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
g
:
B
→
C
{\displaystyle g\colon B\to C}
h
:
C
→
D
{\displaystyle h\colon C\to D}
h
(
g
f
)
=
(
h
g
)
f
{\displaystyle h(gf)=(hg)f}
（幺元）对任意对象
X
{\displaystyle X}
1
X
∈
H
o
m
(
X
,
X
)
{\displaystyle 1_{X}\in \mathrm {Hom} \ (X,X)}
f
∈
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle f\in \mathrm {Hom} \ (A,B)}
1
B
f
=
f
=
f
1
A
{\displaystyle 1_{B}f=f=f1_{A}}
1
X
{\displaystyle 1_{X}}
X
{\displaystyle X}
根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。在这样的等价关系上，部分作者视对象与其单位态射为同一概念。 [来源请求]
图 1：
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
显然，
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
I
d
:
X
↦
1
X
{\displaystyle \mathrm {Id} \colon \ X\mapsto 1_{X}}
D
o
m
:
f
↦
A
{\displaystyle \mathrm {Dom} \colon \ f\mapsto A}
C
o
d
:
f
↦
B
{\displaystyle \mathrm {Cod} \colon \ f\mapsto B}
一个范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
小范畴 （Small Category），当且仅当其态射类
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
真类 小，即仅有集合那么大。
一个范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
局部小范畴 （Locally Small Category），当且仅当对任意对象对
(
A
,
B
)
∈
(
O
b
C
)
2
{\displaystyle (A,B)\in (\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}})^{2}}
H
o
m
C
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}
数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。
每一范畴都可由其物件、态射和态射复合来表示。
所有集合 的范畴
S
e
t
{\displaystyle {\mathsf {Set}}}
函数 ，而态射复合则为一般的函数复合。[ 注释 2] 所有预序关系 的范畴
O
r
d
{\displaystyle {\mathsf {Ord}}}
单调函数 。
所有原群 的范畴
M
a
g
{\displaystyle {\mathsf {Mag}}}
同态 。
所有群 的范畴
G
r
o
u
p
{\displaystyle {\mathsf {Group}}}
群同态 。
所有阿贝尔群 的范畴
A
b
{\displaystyle {\mathsf {Ab}}}
群同态 。
所有环 的范畴
R
i
n
g
{\displaystyle {\mathsf {Ring}}}
环同态 。[ 注释 3]
所有于体
k
{\displaystyle \mathbb {k} }
向量空间 的范畴
V
e
c
t
k
{\displaystyle {\mathsf {Vect}}_{\mathbb {k} }}
线性映射 。
所有拓朴空间 的范畴
T
o
p
{\displaystyle {\mathsf {Top}}}
连续函数 。
所有度量空间 的范畴
M
e
t
{\displaystyle {\mathsf {Met}}}
度量映射 。
所有一致空间 的范畴
U
n
i
{\displaystyle {\mathsf {Uni}}}
一致连续函数 。
所有光滑流形 的范畴
M
a
n
p
{\displaystyle {\mathsf {Man}}^{p}}
p
{\displaystyle p}
所有小范畴的范畴
C
a
t
{\displaystyle {\mathsf {Cat}}}
函子 。
所有局部小范畴的范畴
C
A
T
{\displaystyle {\mathsf {CAT}}}
[ 注释 4]
所有集合 的关系范畴
R
e
l
{\displaystyle {\mathsf {Rel}}}
关系 。
任一预序集
(
P
,
⪯
)
{\displaystyle (P,\preceq )}
P
{\displaystyle P}
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
p
⪯
q
{\displaystyle p\preceq q}
[ 注释 5]
任一幺半群
M
{\displaystyle M}
x
{\displaystyle x}
B
M
{\displaystyle {\mathsf {B}}M}
B
M
{\displaystyle {\mathsf {B}}M}
M
{\displaystyle M}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
e
∈
M
{\displaystyle e\in M}
B
M
{\displaystyle {\mathsf {B}}M}
任意有向图 蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点 为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的“自由范畴”。
若I 是一个集合 ，“在I 上的具体范畴 ”会是个小范畴，其物件为I 的元素，而态射则只有单位态射。当然，其态射复合的公理是必然满足的。
一个态射
f
:
a
→
b
{\displaystyle f\colon \ a\to b}
同构（Iso morphism），当且仅当存在态射
g
:
b
→
c
{\displaystyle g\colon \ b\to c}
g
f
=
1
a
,
f
g
=
1
b
{\displaystyle gf=1_{a},\,fg=1_{b}}
自态射（End omorphism），当且仅当
b
=
a
{\displaystyle b=a}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
自同构（Aut omorphism），当且仅当
f
{\displaystyle f}
单态射 （Mono morphism），当且仅当对任意态射
h
,
k
∈
H
o
m
(
x
,
a
)
{\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (x,\,a)}
f
h
=
f
k
{\displaystyle fh=fk}
h
=
k
{\displaystyle h=k}
满态射 （Epi morphism），当且仅当对任意态射
h
,
k
∈
H
o
m
(
b
,
x
)
{\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (b,\,x)}
h
f
=
k
f
{\displaystyle hf=kf}
h
=
k
{\displaystyle h=k}
g
:
b
→
a
{\displaystyle g\colon \ b\to a}
g
f
=
1
a
{\displaystyle gf=1_{a}}
g
{\displaystyle g}
g
:
b
→
a
{\displaystyle g\colon \ b\to a}
f
g
=
1
b
{\displaystyle fg=1_{b}}
g
{\displaystyle g}
也记
a
{\displaystyle a}
E
n
d
a
{\displaystyle \mathrm {End} \ a}
A
u
t
a
{\displaystyle \mathrm {Aut} \ a}
下述三个命题是等价的：
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
态射之间的关系（例如
f
g
=
h
{\displaystyle fg=h}
交换图表 ，其中物件表示为点，态射表示为箭头。
给定一个范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
O
b
D
⊆
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
M
o
r
D
⊆
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}
同时，态射复合仍然保持。
称
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
任意范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
令
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
对偶范畴
C
o
p
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
以
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
O
b
C
o
p
{\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
由如下从
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}
M
o
r
C
o
p
{\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
函子 完全生成后者：
M
o
r
C
→
M
o
r
C
o
p
f
:
X
→
Y
↦
f
o
p
:
Y
→
X
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}\qquad &\to &\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\\f\colon \ X\to Y\quad &\mapsto &f^{\mathrm {op} }\colon \ Y\to X\end{aligned}}}
其中满足：
∀
f
,
g
∈
M
o
r
C
,
(
f
∘
C
g
)
o
p
:=
g
o
p
∘
C
o
p
f
o
p
{\displaystyle \forall f,g\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}},(f\circ _{\mathcal {C}}g)^{\mathrm {op} }:=g^{\mathrm {op} }\circ _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}f^{\mathrm {op} }}
利用对偶范畴可证明如下的对偶定理 ：
定理：下列三条定理等价：
f
:
x
→
y
{\displaystyle f\colon \ x\to y}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
对所有对象
c
∈
O
b
C
{\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
f
{\displaystyle f}
f
∗
:
H
o
m
(
c
,
x
)
→
H
o
m
(
c
,
y
)
{\displaystyle f_{*}\colon \ \mathrm {Hom} (c,x)\to \mathrm {Hom} (c,y)}
对所有对象
c
∈
O
b
C
{\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
f
{\displaystyle f}
f
∗
:
H
o
m
(
y
,
c
)
→
H
o
m
(
x
,
c
)
{\displaystyle f^{*}\colon \ \mathrm {Hom} (y,c)\to \mathrm {Hom} (x,c)}
对任意范畴
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
C
×
D
{\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}
以形如
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,\,d)}
有序对 为对象，其中
c
∈
O
b
C
,
d
∈
O
b
D
{\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}},\,d\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}}
以形如
(
f
,
g
)
:
(
c
,
d
)
→
(
c
′
,
d
′
)
{\displaystyle (f,\,g)\colon \ (c,\,d)\to (c',\,d')}
结合律与单位态射也如此被逐分量定义。 图 2：逗号范畴之态射
给定函子
F
:
D
→
C
,
G
:
E
→
C
{\displaystyle F\colon \ {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\,G\colon \ {\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}}
逗号范畴
F
↓
G
{\displaystyle F\downarrow G}
以有序三元组
(
d
,
e
,
f
:
F
d
→
G
e
)
∈
O
b
D
×
O
b
E
×
M
o
r
C
{\displaystyle (d,\,e,\,f\colon \ Fd\to Ge)\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Ob} \ {\mathcal {E}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}
以有序对
(
h
:
d
→
d
′
,
k
:
e
→
e
′
)
∈
M
o
r
D
×
M
o
r
E
{\displaystyle (h\colon \ d\to d',\,k\colon \ e\to e')\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {E}}}
(
h
,
k
)
:
(
d
,
e
,
f
)
→
(
d
′
,
e
′
,
f
′
)
{\displaystyle (h,\,k)\colon \ (d,\,e,\,f)\to (d',\,e',\,f')}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
′
∘
F
h
=
G
k
∘
f
{\displaystyle f'\circ Fh=Gk\circ f}
在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合
H
o
m
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (a,\,b)}
阿贝尔群 ，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的 。这种范畴称为预可加范畴 。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积 和上积 ，那么我们称之为可加范畴 。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴 。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
范畴是完备的当其拥有所有极限 。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
范畴是笛卡尔闭 的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set CPO ，即完全偏序 和斯科特连续函数 组成的范畴。
拓扑斯 是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。
^ 此处并未限定是唯一一个。
^ 此处及下列皆为具体范畴 的例子，即：在
S
e
t
{\displaystyle {\mathsf {Set}}}
^ 部分作者习惯将一般环的范畴记作
R
n
g
{\displaystyle {\mathsf {Rng}}}
R
i
n
g
{\displaystyle {\mathsf {Ring}}}
[ 1]
^ 由于 Russell 悖论 ，找到这样一个范畴使得
C
A
T
∈
O
b
C
A
T
{\displaystyle {\mathsf {CAT}}\in \mathrm {Ob} \ {\mathsf {CAT}}}
C
a
t
∈
O
b
C
A
T
{\displaystyle {\mathsf {Cat}}\in \mathrm {Ob} \ {\mathsf {CAT}}}
[ 2]
^ 可以验证，这样的态射复合满足定义的公理。
Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）. Abstract and Concrete Categories 页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）. Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 .（now free on-line edition）
Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures
Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)
Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. . Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories . Cambridge: Cambridge University Press.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician （2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8 .
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