代数拓扑中,上积或杯积(cup product)是将两个度为p和q的上循环联接起来,形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合(与分散)分次交换积,将空间X的上同调转变为分次环
,称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出,1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。
定义
奇异上同调中,上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环
上的积。
构造始于上链之积:若
是p上链,且
是q上链,则
![{\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b247c3a25c0d6092523ff789a855d637635ea1)
其中σ是奇异
-单纯形,
,
是S张成的单纯形规范嵌入
-单纯形,后者的顶点索引为
。
非正式地,
是σ的第p个正面(front face),
是σ的第q个背面(back face)。
上链
与
的上积的上边缘(coboundary)为
![{\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bbf8b61ff6ae025b54794d8180cb55380409d9)
两个上循环的上积仍是上循环,上边缘与上循环(任意顺序)的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算
![{\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31469a82812389e6a9a5f5e8fffd1c0f173aef0)
性质
上同调中的上积满足以下特性
![{\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f39606b3502714842b4c7232f2289dee30033b)
因此相应的乘法是分次交换的。
上积的函子性体现在以下方面:若
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
是连续函数,
![{\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6141ef84d15561ae92d42ecf6f9475c2ea350146)
是上同调中的诱导同态,则
![{\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1881e9f81b4f359089c6788046e2a074f63e79c5)
对
中所有类α、β。也就是说,f *是(分次)环同态。
解释
可将上积
视作由下面的组合诱导而来:
![{\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f55461b427371ea9442fe810cb927bcde892cc)
以
与
的链复形表示,其中第一个映射是克奈映射,第二个映射由对角
诱导。
这个构成传给商,便给出了良定义的上同调映射,这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在,但没有解释同调上积:
诱导了映射
,但还会诱导映射
,后者与我们定义积的方法相反。不过,这在定义下积时是有用的。
上积的这种表达体现了双线性,即
;
例子
上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间
与环面T具有相同的上同调群,但具有不同的上积。在X的情况下,与
相关的上链的乘法是退化的;而在T中,第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图,从而使积等于Z(更一般地说是M,此处是基模)。
其他定义
上积与微分形式
在德拉姆上同调中,微分形式的上积由楔积导出。即,两个闭微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。
上积与几何相交
环绕数可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在
变形中的补退化为环面和2球的楔和,其有度为1、不为零的上积。
对于定向流形,有几何启发式,即“上积与相交是对偶的”。[1][2]
令
为
维定向光滑流形。若两个余维分别是i、j的子流形
横截着交,那么它们的交
又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含(inclusion)之中,就可以得到同调上的双线性积,与上积是庞加莱对偶的,即取庞加莱对
则有以下等式:
.[1]
同样,环绕数也可用交来定义,将维数移动1,或者用链之补上的非零上积来定义。
梅西积
梅西积推广了上积,允许定义“高阶环绕数“,即米尔诺不变量。
上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算,称作梅西积,是上积的推广。它是一种高阶上同调运算,目前只定义了一部分(只定义了部分三元运算)。
另见
参考文献