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矩生成函数

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概率论统计学中,一个实数值随机变量矩母函数moment-generating function)又称矩生成函数亦被称作动差,矩生成函数是其概率分布的一种替代规范。 因此,与直接使用概率密度函数累积分布函数相比,它为分析结果提供了替代途径的基础。 对于由随机变量的加权和定义的分布的矩生成函数,有特别简单的结果。 然而,并非所有随机变量都具有矩生成函数。

顾名思义,矩生成函数可用于计算分布的矩:关于 0 的第个矩是矩生成函数的第阶导数,在 0 处求值。

除了实值分布(单变量分布),矩生成函数可以定义为向量或矩阵值的随机变量,甚至可以扩展到更一般的情况。

特征函数不同,一个实数值分布的矩生成函数并不总是存在。 分布的矩生成函数的行为与分布的性质之间存在关系,例如矩的存在。

定义

随机变量的矩生成函数定义为:

前提是这个期望存在。

计算

如果具有连续概率密度函数,则它的矩生成函数由下式给出:

其中是第阶矩。双边拉普拉斯变换

不管概率分布是不是连续,矩生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出:

其中累积分布函数

如果是一系列独立的随机变量,且

其中是常数,则的概率密度函数是每一个的概率密度函数的卷积,而的矩生成函数则为:

 。

对于分量为实数向量值随机变量X,矩生成函数为:

其中是一个向量,数量积

意义

只要矩生成函数在周围的开区间存在,第个矩为:

 。

如果矩生成函数在这个区间内是有限的,则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与矩生成函数有关,包括特征函数以及概率生成函数

累积量生成函数是矩生成函数的对数。

例子

下面是一些矩生成函数和特征函数的例子,用于比较。 可以看出,特征函数是矩生成函数存在时的威克转动(Wick rotation)

分布 矩生成函数 特征函数
退化
伯努利
几何
二项式
负二项 [注 1] [1]
泊松
均匀(连续型)
均匀(离散型)
拉普拉斯
正态
卡方(Chi-squared)
Noncentral chi-squared
伽玛(Gamma)
指数(Exponential)
多元正态
柯西(Cauchy) 不存在
Multivariate Cauchy

[2]

不存在

参见

  1. ^ 此处定义为:每次独立随机试验的成功率为时,第次成功前的失败次数的分布。定义上的差异详见负二项分布

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-11-21] (英语). 式(11)。
  2. ^ Kotz et al.[需要完整来源] p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution