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矩生成函數

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概率論統計學中,一個實數值隨機變量動差母函數moment-generating function)又稱動差生成函數動差亦被稱作矩,矩生成函數是其概率分佈的一種替代規範。 因此,與直接使用概率密度函數累積分佈函數相比,它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數,有特別簡單的結果。 然而,並非所有隨機變量都具有矩生成函數。

顧名思義,矩生成函數可用於計算分佈的矩:關於 0 的第個矩是矩生成函數的第階導數,在 0 處求值。

除了實值分佈(單變量分佈),矩生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變量,甚至可以擴展到更一般的情況。

特徵函數不同,一個實數值分佈的矩生成函數並不總是存在。 分佈的矩生成函數的行為與分佈的性質之間存在關係,例如矩的存在。

定義

隨機變數的動差母函數定義為:

前提是這個期望值存在。

計算

如果具有連續概率密度函數,則它的動差母函數由下式給出:

其中是第階矩。雙邊拉普拉斯變換

不管概率分布是不是連續,矩生成函數都可以用黎曼-斯蒂爾吉斯積分給出:

其中累積分布函數

如果是一系列獨立的隨機變量,且

其中是常數,則的概率密度函數是每一個的概率密度函數的卷積,而的矩生成函數則為:

 。

對於分量為實數向量值隨機變量X,矩生成函數為:

其中是一個向量,數量積

意義

只要矩生成函數在周圍的開區間存在,第個矩為:

 。

如果矩生成函數在這個區間內是有限的,則它唯一決定了一個概率分布。

一些其它在概率論中常見的積分變換也與矩生成函數有關,包括特徵函數以及概率生成函數

累積量生成函數是矩生成函數的對數。

例子

下面是一些矩生成函數和特徵函數的例子,用於比較。 可以看出,特徵函數是矩生成函數存在時的威克轉動(Wick rotation)

分布 矩生成函數 特徵函數
退化
伯努利
幾何
二項式
負二項 [註 1] [1]
卜瓦松
均勻(連續型)
均勻(離散型)
拉普拉斯
正態
卡方(Chi-squared)
Noncentral chi-squared
伽瑪(Gamma)
指數(Exponential)
多元正態
柯西(Cauchy) 不存在
Multivariate Cauchy

[2]

不存在

參見

  1. ^ 此處定義為:每次獨立隨機試驗的成功率為時,第次成功前的失敗次數的分佈。定義上的差異詳見負二項分布

參考文獻

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-11-21] (英語). 式(11)。
  2. ^ Kotz et al.[需要完整來源] p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution