相伴数列定理

在数学中，相伴数列定理涉及实数列，它指出相伴数列收敛于同一极限。

定义

如果两个实数列 (${\textstyle a_{n}}$) 和 (${\textstyle b_{n}}$) 一个单调递增无上界，一个单调递减无下界，且二者的差值趋近于0，那么称这两个实数列是相伴数列。

先假设数列 (${\textstyle a_{n}}$) 是单调递增的，数列 (${\textstyle b_{n}}$) 是单调递减的。

注意到

有：${\textstyle \forall p,q\in \mathbb {Z} ,a_{p}<b_{q}}$；特别的，${\textstyle \forall n\in \mathbb {Z} ,a_{n}<b_{n}}$

叙述

相伴数列定理 — 假设 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 是一对相伴数列，那么它们收敛于同一极限 ℓ ∈ ℝ。

此外，令 $a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，那么 $\forall n\in \mathbb {N}$, $a_{n}<\ell <b_{n}$

这个定理可以以如下方式证明：在实数域中，单增有上界的数列必然收敛，这是由最小上界性（非空有上界的实数集必有上确界）给出的。因此，如果在有理数集中寻找有理极限，这个定理不成立。

甚至可以证明，这一性质与上确界性等价（见条目实数的构造）。与单增有上界的数列的性质相比，其优势不仅仅在于证明了数列的收敛性，更在于提供了一个想要的框架。

证明

由$a_{n}$单调递增，$b_{n}$单调递减，则可以得到$a_{n}-b_{n}$单调递增

二者的差值趋近于0，于是有$\lim _{n\rightarrow +\infty }(a_{n}-b_{n})=0$, 所以$a_{n}-b_{n}\leq 0$

又因为$a_{n}$单调递增，$b_{n}$单调递减，$a_{0}\leq a_{n}\leq b_{n}\leq b_{0}$

由单调收敛定理，可以知道$a_{n}$和$b_{n}$极限必然存在

由极限的四则运算$lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=lim_{n\rightarrow +\infty }(a_{n}-b_{n})+lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}$

应用

在所有使用二分法的问题中，在实数的十进制展开中，在连分数的书写中以及求积问题（圆的求积、抛物线的求积）问题中，都可以找到相伴数列定理的存在。

两个数列 (${\textstyle a_{n}}$) 和 (${\textstyle b_{n}}$) 是相伴数列，当且仅当由 $u_{2k}=b_{k}-a_{k}$ 和 $u_{2k+1}=b_{k+1}-a_{k}$ 定义的数列 (${\textstyle u_{n}}$) 符号恒定、绝对值严格单调递减且趋近于零；换言之，当通项为 ${\textstyle (-1)^{n}u_{n}}$ 的数列满足交错级数的收敛原则时，两个数列 (${\textstyle a_{n}}$) 和 (${\textstyle b_{n}}$) 是相伴数列。因此，莱布尼茨关于这种特殊的交错级数的审敛法等价于相伴数列定理。

参见

• 闭区间套定理