相伴數列定理

在數學中，相伴數列定理涉及實數列，它指出相伴數列收斂於同一極限。

定義

如果兩個實數列 (${\textstyle a_{n}}$) 和 (${\textstyle b_{n}}$) 一個單調遞增無上界，一個單調遞減無下界，且二者的差值趨近於0，那麼稱這兩個實數列是相伴數列。

先假設數列 (${\textstyle a_{n}}$) 是單調遞增的，數列 (${\textstyle b_{n}}$) 是單調遞減的。

注意到

有：${\textstyle \forall p,q\in \mathbb {Z} ,a_{p}<b_{q}}$；特別的，${\textstyle \forall n\in \mathbb {Z} ,a_{n}<b_{n}}$

敘述

相伴數列定理 — 假設 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 是一對相伴數列，那麼它們收斂於同一極限 ℓ ∈ ℝ。

此外，令 $a_{n}$ 單調遞增，$b_{n}$ 單調遞減，那麼 $\forall n\in \mathbb {N}$, $a_{n}<\ell <b_{n}$

這個定理可以以如下方式證明：在實數域中，單增有上界的數列必然收斂，這是由最小上界性（非空有上界的實數集必有上確界）給出的。因此，如果在有理數集中尋找有理極限，這個定理不成立。

甚至可以證明，這一性質與上確界性等價（見條目實數的構造）。與單增有上界的數列的性質相比，其優勢不僅僅在於證明了數列的收斂性，更在於提供了一個想要的框架。

證明

由$a_{n}$單調遞增，$b_{n}$單調遞減，則可以得到$a_{n}-b_{n}$單調遞增

二者的差值趨近於0，於是有$\lim _{n\rightarrow +\infty }(a_{n}-b_{n})=0$, 所以$a_{n}-b_{n}\leq 0$

又因為$a_{n}$單調遞增，$b_{n}$單調遞減，$a_{0}\leq a_{n}\leq b_{n}\leq b_{0}$

由單調收斂定理，可以知道$a_{n}$和$b_{n}$極限必然存在

由極限的四則運算$lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=lim_{n\rightarrow +\infty }(a_{n}-b_{n})+lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}$

應用

在所有使用二分法的問題中，在實數的十進制展開中，在連分數的書寫中以及求積問題（圓的求積、拋物線的求積）問題中，都可以找到相伴數列定理的存在。

兩個數列 (${\textstyle a_{n}}$) 和 (${\textstyle b_{n}}$) 是相伴數列，若且唯若由 $u_{2k}=b_{k}-a_{k}$ 和 $u_{2k+1}=b_{k+1}-a_{k}$ 定義的數列 (${\textstyle u_{n}}$) 符號恆定、絕對值嚴格單調遞減且趨近於零；換言之，當通項為 ${\textstyle (-1)^{n}u_{n}}$ 的數列滿足交錯級數的收斂原則時，兩個數列 (${\textstyle a_{n}}$) 和 (${\textstyle b_{n}}$) 是相伴數列。因此，萊布尼茨關於這種特殊的交錯級數的審斂法等價於相伴數列定理。

參見

• 閉區間套定理