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正规态射

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范畴论中,正规态射是一类可以自然地分解成单射满射态射。使所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴

定义

为一个有有限射影极限与归纳极限范畴。设为态射。设的投影,而上积的内射。定义:

  • 上像

根据极限性质,自然态射满射,而则是单射。此外还存在唯一一个态射,使得合成态射

正好是

同构,则称正规态射;正规态射可以写成满射与单射的合成。所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴

性质

  • 以下三个条件等价:
    • 为严格满射
    • 为同构
    • 序列正合
  • 如果同时是严格满射与严格单射,则为同构。
  • 恒为严格满射。

例子

正规态射的重要特性在于它分解为满射与单射,此分解在阿贝尔范畴中扮演关键角色。

对于集合范畴范畴以及一个上的范畴,严格性并不成问题。一旦引入额外结构,状况将大大地复杂化:例如取拓扑向量空间范畴,中存在所有有限的积与上积。中的态射连续线性映射,其像是空间配与的子空间拓扑,上像则是配与商拓扑;后者一般较前者为细。

文献

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部链接