有限冲激响应 （英语：Finite impulse response ，缩写FIR）滤波器是其冲激响应 为有限长度的滤波器 ，脉冲输入信号的响应会在有限时间内变为零，此特性和无限冲激响应 （IIR）滤波器相反，无限冲激响应滤波器存在反馈回路，其冲激响应 可能是无限长度的（不过一般会衰减）。
N阶离散时间的FIR滤波器，其冲激响应 （对应克罗内克δ函数 输入的输出）在变为零之前，最多只持续
N
+
1
{\displaystyle N+1}
FIR滤波器可以是连续时间的，也可能是离散时间的，可以是数字 的，也可能是模拟 的。
直接型的N阶离散FIR滤波器。最上层是N阶的延迟线（delay line）和N + 1个抽头，每一个单元延迟是Z变换 下的 z −1 运算子 格子型的N阶离散FIR滤波器。每一个单元延迟是Z变换 下的 z −1 运算子 针对因果
y
[
n
]
=
b
0
x
[
n
]
+
b
1
x
[
n
−
1
]
+
⋯
+
b
N
x
[
n
−
N
]
=
∑
i
=
0
N
b
i
⋅
x
[
n
−
i
]
,
{\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}
其中
x
[
n
]
{\textstyle x[n]}
y
[
n
]
{\textstyle y[n]}
N
{\textstyle N}
N
{\textstyle N}
th 阶滤波器表示在右边有
N
+
1
{\textstyle N+1}
b
i
{\textstyle b_{i}}
N
th
{\textstyle N^{\text{th}}}
0
≤
i
≤
N
{\textstyle 0\leq i\leq N}
b
i
{\textstyle b_{i}}
计算也称为离散卷积 。
上述项中的
x
[
n
−
i
]
{\textstyle x[n-i]}
tap 数字延迟线
滤波器的冲激响应定义为有限区间内的非零值。包括零值在内，冲激响应是无限数列：
h
[
n
]
=
∑
i
=
0
N
b
i
⋅
δ
[
n
−
i
]
=
{
b
n
0
≤
n
≤
N
0
otherwise
.
{\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
若FIR滤波器是非因果的，其冲激响应上的非零值范围可能从
n
=
0
{\displaystyle n=0}
FIR滤波器相较于IIR滤波器，有以下的优点：
不需要回授，因此舍去误差不会因为连续的加总而累计。每一次的计算其相对误差都是一样的，因此在实现上比较简单。
在本质上稳定 ，因为其输出是有限个输入值乘以有限倍数的和，因此不会大于
∑
|
b
i
|
{\textstyle \sum |b_{i}|}
若让系数对称，可以设计成线性相位 地震学 或分音器 ）中是很好的特性。 FIR滤波器的主要缺点是若要求要求低频（相对于采样率）截止频率，在相同的锐利程度或是选择性
数列
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
卷积定理 ，在频域上描述：
F
{
x
∗
h
}
⏟
Y
(
ω
)
=
F
{
x
}
⏟
X
(
ω
)
⋅
F
{
h
}
⏟
H
(
ω
)
{\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}
y
[
n
]
=
x
[
n
]
∗
h
[
n
]
=
F
−
1
{
X
(
ω
)
⋅
H
(
ω
)
}
,
{\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}
其中运算子
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
F
−
1
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}
H
(
ω
)
{\displaystyle H(\omega )}
频率响应 ，可以用以下的傅里叶级数 定义：
H
2
π
(
ω
)
≜
∑
n
=
−
∞
∞
h
[
n
]
⋅
(
e
i
ω
)
−
n
=
∑
n
=
0
N
b
n
⋅
(
e
i
ω
)
−
n
,
{\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}
其中加上下标表示2π周期性。此处的
ω
{\displaystyle \omega }
正规单位
ω
=
2
π
f
,
{\displaystyle \omega =2\pi f,}
(
f
)
{\displaystyle (f)}
[ A]
f
s
{\displaystyle f_{s}}
samples/second ，
ω
=
2
π
f
/
f
s
{\displaystyle \omega =2\pi f/f_{s}}
(
f
)
{\displaystyle (f)}
cycles/second （赫兹 ），周期性是
f
s
{\displaystyle f_{s}}
ω
=
π
{\displaystyle \omega =\pi }
f
=
f
s
2
{\displaystyle f={\tfrac {f_{s}}{2}}}
Hz
=
1
2
{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}
cycles/sample 的频率，也就是奈奎斯特频率 。
H
2
π
(
ω
)
{\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}
离散时间傅里叶变换 表示：
H
^
(
z
)
≜
∑
n
=
−
∞
∞
h
[
n
]
⋅
z
−
n
.
{\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}
H
2
π
(
ω
)
=
H
^
(
z
)
|
z
=
e
j
ω
=
H
^
(
e
j
ω
)
.
{\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}
数字滤波器的设计理念是直接去近似某个离散时间系统的理想频率响应。在设计有限冲激响应滤波器时，要找到符合特定规格的系数以及阶数，规格可能是时域的（匹配滤波器 ），也可能是频域的（较常见的情形）。匹配滤波器是将输入信号和已知形状的脉冲进行互相关（cross-correlation）。FIR卷积（FIR convolution）是脉冲响应的逆时间复本（time-reversed copy）和输入信号进行互相关。因此匹配滤波器的脉冲是用针对已知脉冲进行采样，再将采样信号倒序，做为滤波器的系数[ 1]
若希望有特定的频率响应，以下是一些常见的滤波器设计方式：
窗函数设计法：理想频率响应 可由下式表示：
H
d
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
h
d
[
n
]
e
−
j
ω
n
{\displaystyle H_{d}(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{h_{d}[n]e^{-j\omega n}}}
h
[
n
]
=
h
d
[
n
]
w
[
n
]
{\displaystyle h[n]=h_{d}[n]w[n]}
w
[
n
]
=
{
1
,
0
≤
n
≤
M
,
0
,
otherwise
{\displaystyle w[n]={\begin{cases}1,&0\leq n\leq M{,}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
H
d
(
e
j
ω
)
{\displaystyle H_{d}(e^{j\omega })}
回旋积分 。
频率采样法：对滤波器的频率响应 采样。由下式
H
(
k
)
=
H
d
(
e
j
ω
)
|
ω
=
2
π
N
k
,
k
∈
[
0
,
N
−
1
]
{\displaystyle H(k)=H_{d}(e^{j\omega })|_{\omega ={\frac {2\pi }{N}}k},k\in [0,N-1]}
最小MSE（均方差）法 ：定义理想的滤波器频率响应 ，以及所想要的均方差，将一滤波器的MSE对设计的时冲激响应偏微分，将偏微分的的式子等于0，用程式最佳化的方式求出数字滤波器的频率响应。此方法着重在滤波器的频率响应和理想响应在采样频率段的平均误差。帕克斯-麦克莱伦算法 ：（也称为是等涟波法、最佳法或Mini-max法）常会用雷米兹算法 来找最佳等涟波的系数。使用者会标示想要的频率响应、此响应下误差的加权函数，以及滤波器阶数N。此方法会找到可以将最大偏移量降到最低的
N
+
1
{\textstyle N+1}
N
+
1
{\textstyle N+1}
max
f
|
H
(
f
)
−
H
d
(
f
)
|
{\displaystyle \max _{f}|H(f)-H_{d}(f)|}
[ 2] N ，得到最佳系数的程式。等涟波FIR滤波器也可以用DFT算法设计[ 3] 目前已有许多软件可以进行滤波器设计，例如MATLAB 、GNU Octave 、Scilab 和SciPy 等。
简单FIR滤波器的方块器（此例中是二阶三抽头的滤波器，是移动平均滤波器）
移动平均 滤波器是简单的FIR滤波器，有时会称为Boxcar 函数 滤波器（特别在之后有降采样 的情形下）。滤波器的系数
b
0
,
…
,
b
N
{\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}
b
i
=
1
N
+
1
{\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}
以下是更具体的例子，选择滤波器的阶数：
N
=
2
{\displaystyle N=2}
其冲激响应如下：
h
[
n
]
=
1
3
δ
[
n
]
+
1
3
δ
[
n
−
1
]
+
1
3
δ
[
n
−
2
]
{\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}
右边的方块图是以下要讨论的二阶移动平均滤波器。其递移函数为：
H
(
z
)
=
1
3
+
1
3
z
−
1
+
1
3
z
−
2
=
1
3
z
2
+
z
+
1
z
2
.
{\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}
下一个图是滤波器的极零点图
z
1
=
−
1
2
+
j
3
2
{\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
z
2
=
−
1
2
−
j
3
2
{\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
若以正规化频率 ω 表示，频率响应为：
H
(
e
j
ω
)
=
1
3
+
1
3
e
−
j
ω
+
1
3
e
−
j
2
ω
=
1
3
e
−
j
ω
(
1
+
2
c
o
s
(
ω
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2cos(\omega )\right).\end{aligned}}}
图上有其振幅和相位的响应，不过此图也可以用冲激响应的离散傅里叶变换 得到
因为其对称性，滤波器设计或是显示软件多半只会显示 [0, π]区域。可以看出移动平均滤波器的低频增益接近1，但会衰减高频的信号，因此是简单的低通滤波器 。相位图是线性的，但在增益降到零时出现不连续，不连续的大小是π，意思是有变号的情形。最后一张图的振幅允许正负，此时的相位就都是线性的。
^ Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., and Young, Ian T.,1983: Signals and Systems, p. 256 (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-809731-3
^ Rabiner, Lawrence R., and Gold, Bernard, 1975: Theory and Application of Digital Signal Processing (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4
^ A. E. Cetin, O.N. Gerek, Y. Yardimci, "Equiripple FIR filter design by the FFT algorithm," IEEE Signal Processing Magazine, pp. 60–64, March 1997.
^ An exception is MATLAB, which prefers units of half-cycles/sample = cycles/2-samples , because the Nyquist frequency in those units is 1, a convenient choice for plotting software that displays the interval from 0 to the Nyquist frequency.
![{\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43ba6c329a471401e87fe17c6130d801602ffdf)
![{\textstyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298900271d430cdc218444544f75fc47ba51654d)
![{\textstyle y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0834ff96799c04daf90559cb18c3ef83f9a70de6)
![{\textstyle x[n-i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9faabcad38c6d2a98dfcdfdb635daf0e0366cf54)
![{\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e64b41f6f07ac049f118cd4e1f80b6a5e7d78d)
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aabf8de87f5069e218fed886fa815390345ff5b)
![{\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca9eec5b0a2efb8814181461f1dc7f234784b88)
![{\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60566e2b445b511e12243d4e01faba9d6ef54cf2)
![{\displaystyle H_{d}(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{h_{d}[n]e^{-j\omega n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288ec6efde96f91cc5a2d8423d3d6d6b8eee4803)
![{\displaystyle h[n]=h_{d}[n]w[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae8fd1bfb873a401b37b8f000b69bb80790f1d6)
![{\displaystyle w[n]={\begin{cases}1,&0\leq n\leq M{,}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de33493ffc51183ade60dcf6c340956be353298)
![{\displaystyle H(k)=H_{d}(e^{j\omega })|_{\omega ={\frac {2\pi }{N}}k},k\in [0,N-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a678f041b4e77c22289fcb5b5d0f08ecd9b749)
.svg)
![{\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e21482fe3a56f5731d5e4407d08ff23aee6e2e)
