雷米茲演算法

雷米茲演算法，或稱雷米茲交換演算法，由葉夫根尼·列維奇·雷米茲於1934年所發表。雷米茲演算法為一尋找函式簡易近似之迭代演算法，特別是定義於切比雪夫空間的函式效果最佳。

一個在切比雪夫空間的典型例子是 n 次項切比雪夫多项式的子空間，屬於實數連續函式之向量空間，定義於 C[a, b] 區間。

給定一子空間，其最佳近似多項式的定義為：可將此近似多項式與原始函式之最大絕對差異最小化者。在這個情況下，可由equioscillation theorem使其解更精確

程序

算法的主要目的是从一个集合 $X$ 得到一个可以逼近函数 $f$ 的多项式。集合 $X$ 由近似的区间上的 $n+2$ 个取样点 $x_{1},x_{2},...,x_{n+2}$ 组成，通常由Chebyshev多项式线性映射至该区间得到。算法步骤如下：

解线性方程组

b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})

(其中

i=1,2,...n+2

),

未知数为

b_{0},b_{1},...,b_{n}

和

E

。

使用 $b_{i}$ 作為多項式 $P_{n}$ 的係數。
找出 $|P_{n}(x)-f(x)|$ 的局部极大误差点，组成集合 $M$ 。
若所有 $m\in M$ 都是相同大小，仅正负号不同的话，则 $P_{n}$ 为极小化极大逼近多项式。否则的话，使用 $M$ 取代 $X$ 并重复上述步骤。

此结果称为极小化极大逼近算法的最佳逼近多项式。

初始化選擇

由於切比雪夫節點在多項式插值理論中所扮演的角色，故通常選擇其為初始近似的方法。由拉格朗日插值法 L_n(f) 初始化一函式 f 之最佳化問題，可以證明此初始近似之邊界限制為:

\lVert f-L_{n}(f)\rVert _{\infty }\leq (1+\lVert L_{n}\rVert _{\infty })\inf _{p\in P_{n}}\lVert f-p\rVert

其中節點 (t₁, ..., t_n + 1) 之拉格朗日插值法算子的常數為

\lVert L_{n}\rVert _{\infty }={\overline {\Lambda }}_{n}(T)=\max _{-1\leq x\leq 1}\lambda _{n}(T;x),

T 為切比雪夫多項式的零點，而

\lambda _{n}(T;x)=\sum _{j=1}^{n+1}\left|l_{j}(x)\right|,\quad l_{j}(x)=\prod _{\stackrel {i=1}{i\neq j}}^{n+1}{\frac {(x-t_{i})}{(t_{j}-t_{i})}}.

對提供次最佳之切比雪夫節點來說，其漸近線為

{\overline {\Lambda }}_{n}(T)={\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\log {\frac {8}{\pi }}\right)+\alpha _{n+1}

(γ 為欧拉-马歇罗尼常数)，

0<\alpha _{n}<{\frac {\pi }{72n^{2}}}

for

n\geq 1,

而上界為

{\overline {\Lambda }}_{n}(T)\leq {\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+1

Lev Brutman 計算出對 $n\geq 3$ 的邊界，而 ${\hat {T}}$ 為切比雪夫多項式之零點

{\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<{\overline {\Lambda }}_{3}-{\frac {1}{6}}\cot {\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi }{64}}{\frac {1}{\sin ^{2}(3\pi /16)}}-{\frac {2}{\pi }}(\gamma -\log \pi )\approx 0.201.

Rüdiger Günttner由對 $n\geq 40$ 之較粗略的估算計算出

{\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<0.0196.

細節討論

在此將提供先前簡述步驟的詳細內容，在這個章節令指數 i 從 0 跑到 n+1.

步驟 1: 給定 $x_{0},x_{1},...x_{n+1}$ , 求 n+2 條等式之線性系統之解

b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})

(其中

i=0,1,...n+1

),

對於未知的

b_{0},b_{1},...b_{n}

和 E.

可以很清楚地觀察到，在這個式子裡 $(-1)^{i}E$ 若要成立，只有在節點 $x_{0},...,x_{n+1}$ 為排序的情況下才能達到，無論是嚴格遞增或遞減。這樣一來這個線性系統便有唯一解。(廣為人知的，並非每個線性系統都可以求解)。此外，求解之複雜度最少為 $O(n^{2})$ ，而一個從函式庫求解的標準計算器需要 $O(n^{3})$ 的複雜度，在此有一簡單證明:

計算前n+1個節點之 $f(x)$ 標準 n 階插值 $p_{1}(x)$ ，以及對於 $(-1)^{i}$ 之標準 n 階插值 $p_{2}(x)$

p_{1}(x_{i})=f(x_{i}),p_{2}(x_{i})=(-1)^{i},i=0,...,n.

至此，需要 $O(n^{2})$ 次數值運算。

在 $x_{i-1}$ 與 $x_{i},\ i=1,...,n$ 之間，多項式 $p_{2}(x)$ 有其 i-階零點zero between $x_{i-1}$ and $x_{i},\ i=1,...,n$ ，因此在 $x_{n}$ 與 $x_{n+1}$ 之間無任何零點，意即 $p_{2}(x_{n})$ 與 $p_{2}(x_{n+1})$ 正負號 $(-1)^{n}$ 相同。

線性組合 $p(x):=p_{1}(x)-p_{2}(x)\!\cdot \!E$ 亦為一 n 次多項式

p(x_{i})=p_{1}(x_{i})-p_{2}(x_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{i})-(-1)^{i}E,\ \ \ \ i=0,\ldots ,n.

選擇任何 E ，對 $i=0,...,n$ ，下列式子與上述等式相同:

p(x_{n+1})\ =\ p_{1}(x_{n+1})-p_{2}(x_{n+1})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{n+1})-(-1)^{n+1}E

解 E 得:

E\ :=\ {\frac {p_{1}(x_{n+1})-f(x_{n+1})}{p_{2}(x_{n+1})+(-1)^{n}}}.

如前述所提及，上式分母之兩項有相同正負號，因此

p(x)\equiv b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{n}x^{n}

是完整定義的。

給定 n+2 階節點，其誤差為正負輪流:

p(x_{i})-f(x_{i})\ =\ -(-1)^{i}E,\ \ i=0,...,n\!+\!1.

de La Vallée Poussin 理論說明在這種形況下，沒有誤差少於 E 之 n 次多項式存在。

步驟 2 把多項式表示由 $b_{0}+b_{1}x+...+b_{n}x^{n}$ 轉為 $p(x)$ .

步驟 3 依照以下所述改善輸入節點 $x_{0},...,x_{n+1}$ 的誤差 $\pm E$ 。

在每個 P-領域，現在的節點 $x_{i}$ 將被區域最大 ${\bar {x}}_{i}$ 取代，同樣在每個 N-領域， $x_{i}$ 將被區域最小取代，在這部分並不要求高精確律。

令 $z_{i}:=p({\bar {x}}_{i})-f({\bar {x}}_{i})$ ，其大小 $|z_{i}|$ 皆大於或等於 E。de La Vallée Poussin 理論及其證明也可以應用至 $z_{0},...,z_{n+1}$ ，而使此 n 次多項式有最小可能誤差的新下界為 $\min\{|z_{i}|\}\geq E$ 。