有限位势垒是一种位势 。在垒外，位势为 0 ，在垒内，位势为有限值
V
0
{\displaystyle V_{0}\,\!}
a
{\displaystyle a\,\!}
在量子力学 里，有限位势垒 是一种位势 。在垒外，位势为 0 ，在垒内，位势为有限值 。有限位势垒问题 专门研讨在这种位势的作用中，一个粒子 的量子行为。如图右，最简单的有限位势垒是方形垒，垒高是一个常数。在这条目里，只研讨这种位势垒。
通常，在经典力学 里，一维的有限位势垒问题会设定一个粒子，从位势垒的左边，往位势垒移动。假若，粒子的能量大于位势垒的位势。则这粒子，在经过位势垒的时候，因为动能 的转换为势能 ，速度 会降低，但方向不会改变。当移动至位势垒外时，速度又会回复至原本值。假若，粒子的能量小于位势垒的位势，则在与位势垒弹性碰撞之后，这粒子会改变方向，以同样的速率 ，往回移动。粒子绝对无法存在于位势垒内或越过位势垒。
在量子力学 里，粒子的量子行为，是取决于其波函数 。由于粒子没有被有限位势垒束缚，粒子的能量不是离散 能量谱的特殊容许值，而是大于 0 的任意值，因此不需要求算粒子的能量。在这里，主要研究的是粒子的一维散射 。这是一个很有意思的领域。假若，粒子的能量大于位势垒的位势。由于往位势垒传播的波函数，并不是完全地透射过位势垒，仍旧有一部分反射回来。所以，反射的概率幅 大于 0 ，粒子被反射回来的概率大于 0 。假若，粒子的能量小于位势垒的位势，虽然波函数会呈指数 地递减，在位势垒内，概率幅仍旧大于 0 。所以，这粒子存在于位势垒内的概率 大于 0。不止这样，概率幅在位势垒外的另一边也大于 0 。假若，位势垒的位势并不大大的超过粒子的能量，位势垒的垒宽也并不很宽，则粒子穿越位势垒的概率会是很显著的，称这效应为量子隧穿效应 。透射 的可能性，称为透射系数 ；反射 的可能性，则称为反射系数 。
对于一个垒高为
V
0
{\displaystyle V_{0}\,\!}
一维有限位势垒的垒宽为
a
{\displaystyle a\,\!}
x
=
0
{\displaystyle x=0\,\!}
x
=
a
{\displaystyle x=a\,\!}
V
0
{\displaystyle V_{0}\,\!}
V
0
{\displaystyle V_{0}\,\!}
波函数
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
ψ
L
{\displaystyle \psi _{L}\,\!}
x
<
0
{\displaystyle x<0\,\!}
ψ
C
{\displaystyle \psi _{C}\,\!}
0
<
x
<
a
{\displaystyle 0<x<a\,\!}
ψ
R
{\displaystyle \psi _{R}\,\!}
a
<
x
{\displaystyle a<x\,\!}
这些波函数，都必须满足，一维不含时间的薛定谔方程 ：
−
ℏ
2
2
m
d
2
ψ
d
x
2
+
V
(
x
)
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!}
(1) 其中，
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
约化普朗克常数 ，
m
{\displaystyle m\,\!}
质量 ，
x
{\displaystyle x\,\!}
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)\,\!}
E
{\displaystyle E\,\!}
在位势垒分开的每一个区域内，位势都是常数，粒子是
半自由粒子 。薛定谔方程的解答可以写为往左与往右的波函数的叠加 。假若，
E
>
V
0
{\displaystyle E>V_{0}\,\!}
ψ
L
(
x
)
=
A
r
e
i
k
0
x
+
A
l
e
−
i
k
0
x
{\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}\,\!}
x
<
0
{\displaystyle x<0\,\!}
(2)
ψ
C
(
x
)
=
B
r
e
i
k
1
x
+
B
l
e
−
i
k
1
x
{\displaystyle \psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}\,\!}
0
<
x
<
a
{\displaystyle 0<x<a\,\!}
(3)
ψ
R
(
x
)
=
C
r
e
i
k
0
x
+
C
l
e
−
i
k
0
x
{\displaystyle \psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}\,\!}
a
<
x
{\displaystyle a<x\,\!}
(4) 其中，
A
r
{\displaystyle A_{r}\,\!}
A
l
{\displaystyle A_{l}\,\!}
B
r
{\displaystyle B_{r}\,\!}
B
l
{\displaystyle B_{l}\,\!}
C
r
{\displaystyle C_{r}\,\!}
C
l
{\displaystyle C_{l}\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
l
{\displaystyle l\,\!}
波数
k
0
{\displaystyle k_{0}\,\!}
k
1
{\displaystyle k_{1}\,\!}
k
0
=
2
m
E
/
ℏ
2
{\displaystyle k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!}
(5)
k
1
=
2
m
(
E
−
V
0
)
/
ℏ
2
{\displaystyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}\,\!}
(6) 从波函数在
x
=
0
{\displaystyle x=0\,\!}
x
=
a
{\displaystyle x=a\,\!}
边界条件 ，可以求得常数。波函数与其导数必须满足连续性 ：
ψ
L
(
0
)
=
ψ
C
(
0
)
{\displaystyle \psi _{L}(0)=\psi _{C}(0)\,\!}
d
d
x
ψ
L
(
0
)
=
d
d
x
ψ
C
(
0
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{L}(0)={\frac {d}{dx}}\psi _{C}(0)\,\!}
ψ
C
(
a
)
=
ψ
R
(
a
)
{\displaystyle \psi _{C}(a)=\psi _{R}(a)\,\!}
d
d
x
ψ
C
(
a
)
=
d
d
x
ψ
R
(
a
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{C}(a)={\frac {d}{dx}}\psi _{R}(a)\,\!}
将波函数的方程 (2) 、(3) 、(4) ， 代入边界条件的四个方程，则可得到
A
r
+
A
l
=
B
r
+
B
l
{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!}
(7)
i
k
0
(
A
r
−
A
l
)
=
i
k
1
(
B
r
−
B
l
)
{\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})\,\!}
(8)
B
r
e
i
k
1
a
+
B
l
e
−
i
k
1
a
=
C
r
e
i
k
0
a
+
C
l
e
−
i
k
0
a
{\displaystyle B_{r}e^{ik_{1}a}+B_{l}e^{-ik_{1}a}=C_{r}e^{ik_{0}a}+C_{l}e^{-ik_{0}a}\,\!}
(9)
i
k
1
(
B
r
e
i
k
1
a
−
B
l
e
−
i
k
1
a
)
=
i
k
0
(
C
r
e
i
k
0
a
−
C
l
e
−
i
k
0
a
)
{\displaystyle ik_{1}(B_{r}e^{ik_{1}a}-B_{l}e^{-ik_{1}a})=ik_{0}(C_{r}e^{ik_{0}a}-C_{l}e^{-ik_{0}a})\,\!}
(10) 假若，粒子的能量小于位势，
E
<
V
0
{\displaystyle E<V_{0}\,\!}
k
1
{\displaystyle k_{1}\,\!}
虚数 ，在垒内，波函数呈指数递减。
在这里，暂时不考虑，
E
=
V
0
{\displaystyle E=V_{0}\,\!}
设定
A
r
=
1
{\displaystyle A_{r}=1\,\!}
A
l
=
r
{\displaystyle A_{l}=r\,\!}
C
l
=
0
{\displaystyle C_{l}=0\,\!}
C
r
=
t
{\displaystyle C_{r}=t\,\!}
B
r
{\displaystyle B_{r}\,\!}
B
l
{\displaystyle B_{l}\,\!}
B
r
=
k
0
+
k
1
2
k
1
−
k
0
−
k
1
2
k
1
r
{\displaystyle B_{r}={\frac {k_{0}+k_{1}}{2k_{1}}}-{\frac {k_{0}-k_{1}}{2k_{1}}}\ r\,\!}
(11)
B
l
=
−
k
0
−
k
1
2
k
1
+
k
0
+
k
1
2
k
1
r
{\displaystyle B_{l}=-{\frac {k_{0}-k_{1}}{2k_{1}}}+{\frac {k_{0}+k_{1}}{2k_{1}}}\ r\,\!}
(12)
B
l
=
−
k
0
−
k
1
k
0
+
k
1
e
i
2
k
1
a
B
r
{\displaystyle B_{l}=-{\frac {k_{0}-k_{1}}{k_{0}+k_{1}}}e^{i2k_{1}a}\ B_{r}\,\!}
(13) 将方程 (11) ， (12) 代入方程 (13) ，可求得反射幅度
r
{\displaystyle r\,\!}
r
=
(
k
0
2
−
k
1
2
)
sin
(
k
1
a
)
(
k
0
2
+
k
1
2
)
sin
(
k
1
a
)
+
i
2
k
0
k
1
cos
(
k
1
a
)
{\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(k_{1}a)}{(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(k_{1}a)+i2k_{0}k_{1}\cos(k_{1}a)}}\,\!}
(14) 将方程 (11) ， (12) ， (14) 代入方程 (9) ，可求得透射幅度
t
{\displaystyle t\,\!}
t
=
2
k
1
k
0
+
k
1
e
−
i
(
k
0
−
k
1
)
a
B
r
=
2
k
1
k
0
+
k
1
e
−
i
(
k
0
−
k
1
)
a
(
k
0
+
k
1
2
k
1
−
k
0
−
k
1
2
k
1
r
)
=
i
2
k
0
k
1
e
−
i
k
0
a
(
k
0
2
+
k
1
2
)
sin
(
k
1
a
)
+
i
2
k
0
k
1
cos
(
k
1
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {2k_{1}}{k_{0}+k_{1}}}e^{-i(k_{0}-k_{1})a}B_{r}\\&={\frac {2k_{1}}{k_{0}+k_{1}}}e^{-i(k_{0}-k_{1})a}\left({\frac {k_{0}+k_{1}}{2k_{1}}}-{\frac {k_{0}-k_{1}}{2k_{1}}}r\right)\\&={\frac {i2k_{0}k_{1}e^{-ik_{0}a}}{(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(k_{1}a)+i2k_{0}k_{1}\cos(k_{1}a)}}\\\end{aligned}}\,\!}
。 因为模型的对称性 ，假若计算粒子从右边往位势垒移动的反射幅度
r
{\displaystyle r\,\!}
t
{\displaystyle t\,\!}
E
<
V
0
{\displaystyle E<V_{0}}
位势垒的透射概率
T
{\displaystyle T\,\!}
E
/
V
0
{\displaystyle E/V_{0}\,\!}
2
m
V
0
a
/
ℏ
=
7
{\displaystyle {\sqrt {2mV_{0}}}\ a/\hbar =7\,\!}
假若，粒子的能量小于位势，
E
<
V
0
{\displaystyle E<V_{0}\,\!}
k
1
{\displaystyle k_{1}\,\!}
虚数 。设定
κ
1
=
2
m
(
V
0
−
E
)
/
ℏ
2
=
k
1
/
i
{\displaystyle \kappa _{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}=k_{1}/i\,\!}
(15) 透射常数
t
{\displaystyle t\,\!}
t
=
2
k
0
κ
1
e
−
i
k
0
a
−
i
(
k
0
2
−
κ
1
2
)
sinh
(
κ
1
a
)
+
2
k
0
κ
1
cosh
(
κ
1
a
)
{\displaystyle t={\cfrac {2k_{0}\kappa _{1}e^{-ik_{0}a}}{-i(k_{0}^{2}-\kappa _{1}^{2})\sinh(\kappa _{1}a)+2k_{0}\kappa _{1}\cosh(\kappa _{1}a)}}\,\!}
粒子穿越位势垒的概率，称为透射系数 ，又称为透射概率 ，可以表达为
T
=
|
t
|
2
=
4
k
0
2
κ
1
2
(
k
0
2
+
κ
1
2
)
2
sinh
2
(
κ
1
a
)
+
4
k
0
2
κ
1
2
{\displaystyle T=|t|^{2}={\cfrac {4k_{0}^{2}\kappa _{1}^{2}}{(k_{0}^{2}+\kappa _{1}^{2})^{2}\sinh ^{2}(\kappa _{1}a)+4k_{0}^{2}\kappa _{1}^{2}}}\,\!}
将方程 (5) ，(6) ，(15) 代入，可以得到透射概率
T
{\displaystyle T\,\!}
E
/
V
0
{\displaystyle E/V_{0}\,\!}
T
=
|
t
|
2
=
1
1
+
V
0
2
sinh
2
(
κ
1
a
)
4
E
(
V
0
−
E
)
{\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(\kappa _{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}
虽然粒子的能量小于位势，
E
<
V
0
{\displaystyle E<V_{0}\,\!}
量子隧穿效应 ，是无法从经典力学导引出来的。在垒外，透射概率以波数
k
0
{\displaystyle k_{0}\,\!}
衰变长度 是
1
/
κ
1
{\displaystyle 1/\kappa _{1}\,\!}
E
>
V
0
{\displaystyle E>V_{0}}
假若，粒子的能量大于位势垒垒高，
E
>
V
0
{\displaystyle E>V_{0}\,\!}
T
{\displaystyle T\,\!}
E
/
V
0
{\displaystyle E/V_{0}\,\!}
T
=
|
t
|
2
=
1
1
+
V
0
2
sin
2
(
k
1
a
)
4
E
(
E
−
V
0
)
{\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}}}
粒子的反射概率
R
{\displaystyle R\,\!}
R
=
|
r
|
2
=
1
−
T
{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T\,\!}
在经典力学中，这是绝对不可能发生的事。实际上，这反射概率
R
{\displaystyle R\,\!}
k
1
a
{\displaystyle k_{1}a\,\!}
E
≫
V
0
{\displaystyle E\gg V_{0}\,\!}
r
=
0
{\displaystyle r=0\,\!}
当
k
1
a
{\displaystyle k_{1}a\,\!}
π
{\displaystyle \pi \,\!}
惰性气体 的散射 实验中观测得到，又称为冉绍耳-汤森德效应 （Ramsauer-Townsend effect ）。
E
=
V
0
{\displaystyle E=V_{0}}
假若，粒子的能量等于位势垒垒高，
E
=
V
0
{\displaystyle E=V_{0}\,\!}
指数函数 ，而是线性函数 ：
B
1
+
B
2
x
=
ψ
C
(
x
)
{\displaystyle B_{1}+B_{2}x=\psi _{C}(x)\,\!}
(16) 解析薛定谔方程的方法，与前面所述相同，就是匹配波函数，波函数的导数在
x
=
0
{\displaystyle x=0\,\!}
x
=
a
{\displaystyle x=a\,\!}
A
r
+
A
l
=
B
1
{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{1}\,\!}
i
k
0
(
A
r
−
A
l
)
=
B
2
{\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=B_{2}\,\!}
B
1
+
B
2
a
=
C
r
e
i
k
0
a
+
C
l
e
−
i
k
0
a
{\displaystyle B_{1}+B_{2}a=C_{r}e^{ik_{0}a}+C_{l}e^{-ik_{0}a}\,\!}
B
2
=
i
k
0
(
C
r
e
i
k
0
a
−
C
l
e
−
i
k
0
a
)
{\displaystyle B_{2}=ik_{0}(C_{r}e^{ik_{0}a}-C_{l}e^{-ik_{0}a})\,\!}
设定
A
r
=
1
{\displaystyle A_{r}=1\,\!}
A
l
=
r
{\displaystyle A_{l}=r\,\!}
C
l
=
0
{\displaystyle C_{l}=0\,\!}
C
r
=
t
{\displaystyle C_{r}=t\,\!}
T
{\displaystyle T\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
T
=
1
1
+
m
V
0
a
2
/
2
ℏ
2
{\displaystyle T={\cfrac {1}{1+mV_{0}a^{2}/2\hbar ^{2}}}\,\!}
R
=
m
V
0
a
2
/
2
ℏ
2
1
+
m
V
0
a
2
/
2
ℏ
2
{\displaystyle R={\cfrac {mV_{0}a^{2}/2\hbar ^{2}}{1+mV_{0}a^{2}/2\hbar ^{2}}}\,\!}
一维有限位势垒问题，是一个简单与抽象的理论问题。但是，它仍旧可以用来模拟许多实际的系统。例如，电导体 的表面，时常会覆盖着一层薄薄的氧化物 。在电导体的内部，传导 电子 可以自由的移动。可是，在两个电导体的界面之间，由于这一层氧化物的阻碍，使得传导电子的运动受到很大的影响。有限位势垒问题可以用来模拟传导电子从一个电导体穿越到另一个电导体的状况，因而更加了解电流经过两个电导体的物理内涵。
扫描隧道显微镜 (STM) 运作的物理原理是量子隧穿效应 。在这里，位势垒是由 STM 的尖端与检验物体之间的间隔造成的。由于量子隧穿效应呈指数跟位势垒垒宽有关，这仪器可以非常灵敏地感应到，检验物体表面的高低不平的变化。
Delta 位势垒 是另外一种很重要的位势垒，可以视为一种特别的有限位势垒。垒内位势为狄拉克 Delta 函数 ，
V
(
x
)
=
λ
m
δ
(
x
)
{\displaystyle V(x)={\frac {\lambda }{m}}\delta (x)}
V
0
a
=
λ
2
m
2
{\displaystyle V_{0}a={\frac {\lambda ^{2}}{m^{2}}}\,\!}
V
0
→
∞
,
a
→
0
{\displaystyle V_{0}\to \infty ,\quad a\to 0\,\!}
Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7 . Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Frank Laloë. Mécanique quantique, vol. I et II. Paris: Collection Enseignement des sciences (Hermann). 1977. ISBN 2-7056-5767-3 . 
