有限深方形阱。阱寬為
。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為
。阱外位勢保持為。
在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。
在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。
一維阱定義
一維有限深方形阱的阱寬為，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為
與
。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為。阱外位勢保持為。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數
也不同，標記為：[1]:78-82
：阱左邊，
（阱外區域），
：阱內，
（阱內區域），
：阱右邊，
（阱外區域）。
這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：
；(1)
其中，
是約化普朗克常數，
是粒子質量，
是粒子位置，
是位勢，
是能量。
阱內區域
在阱內，位勢
，方程簡化為：
。(2)
設定波數
為
。(3)
代入方程(2)：
。
這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數
是正弦函數與餘弦函數的線性組合：
；
其中，
與
都是複值常數，由邊界條件而決定。
阱外區域
在阱外，位勢
，薛丁格方程為：
。
視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。
束縛態
假若，粒子的能量小於位勢：
，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定
。(4)
代入方程(1)：
。
一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是
，
；
其中，
，
，
，
都是常數。
從正確的邊界條件，可以找到常數，，，，，的值。
束縛態的波函數
薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。
總結前面導引出的結果，波函數的形式為：
- ：阱左邊，（阱外區域），
：阱內，（阱內區域），- ：阱右邊，（阱外區域）。
當趨向負無窮，包含的項目趨向無窮。類似地，當趨向無窮，包含的項目趨向無窮。可是，波函數在任何都必須是有限值。因此，必須設定
。阱外區域的波函數變為
，
。
在阱左邊，隨著越小，波函數
呈指數遞減。而在阱右邊，隨著越大，波函數
呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。
由於有限深方形阱對稱於
，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。
奇的波函數
假若，波函數是奇函數，則
，
，
，
由於整個波函數必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：
將波函數的公式代入：
，(5)
。(6)
方程(6)除以方程(5)，可以得到：
。
從方程(3)與(4)，可以求得常數
與波數的關係：
。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：
。
這也造成了離散的能量。
偶的波函數
假若，波函數是偶函數，則
，
，
，
由於整個波函數必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：
將波函數的公式代入：
，(7)
。(8)
方程(8)除以方程(7)，可以得到：
。
從方程(3)與(4)，可以求得常數與波數的關係：
- 。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：
。
這也造成了離散的能量。
散射態
假若，一個粒子的能量大於位勢，
，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於的任意值。波數
，用方程式表達為
，也不是離散量。代入方程(1)：
，
。
解答形式與阱內區域的解答形式相同：
，
。
其中，
、
、
、
，都是常數。
參閱
參考文獻
- ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.
