对数平均是一个二个非负数字的数学函数,等于两者的差除以其对数的差。其符号为:
其中都是正整数。
对数平均的计算适用在有关热传及质传的工程问题上。
不等式
二个数字的对数平均小于其算术平均,大于几何平均[1],若二个数字相等,对数平均会等于算数平均及几何平均。
平均的推导
微分的均值定理
根据均值定理
若将改为,对数平均可以由 来求得
求解。
积分
对数平均也可以表示为指数函数以下的面积。
面积的表示法可以推导一个有关对数平均的基本性质。
因为指数函数为单调函数,长度为1区间的的积分会在和之间。积分算子的齐次性转移到平均算子,因此.
推广
微分的均值定理
对数平均可推广到变数,考虑对数n阶导数的均差中值定理。
可以得到:
其中为对数的均差。
若,会变成
- .
积分
积分的表示法也可以推广到多变数,但结果不同。
假设单纯形
其中及适当的量度可以使单纯形得到1的体积,可得
利用指数函数的均差可以简化如下
- .
例如
- .
和其他平均的关系
- (算术平均)
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参考资料