對數平均

對數平均是一個二個非負數字的數學函數，等於兩者的差除以其對數的差。其符號為：

{\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}

其中 $x,y$ 都是正整數。

對數平均的計算適用在有關熱傳及質傳的工程問題上。

不等式

二個數字的對數平均小於其算術平均，大於幾何平均^[1]，若二個數字相等，對數平均會等於算數平均及幾何平均。

{\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.

平均的推導

微分的均值定理

根據均值定理

\exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}

若將 $f$ 改為 $\ln$ ，對數平均可以由 $\xi$ 來求得

{\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}

求解 $\xi$ 。

\xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}

積分

對數平均也可以表示為指數函數以下的面積。

L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t

${\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}$

面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。因為指數函數為單調函數，長度為1區間的的積分會在 $x$ 和 $y$ 之間。積分算子的齊次性轉移到平均算子，因此 $L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)$ .

推廣

微分的均值定理

對數平均可推廣到 $n+1$ 變數，考慮對數n階導數的均差中值定理（英語：mean value theorem (divided differences)）。可以得到: $L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}$ 其中 $\ln[x_{0},\dots ,x_{n}]$ 為對數的均差。

若 $n=2$ ，會變成

L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}

.

積分

積分的表示法也可以推廣到多變數，但結果不同。假設單純形 $S$ 其中 $S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}$ 及適當的量度 $\mathrm {d} \alpha$ 可以使單純形得到1的體積，可得