域 (数学)

“域”的各地常用名称
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在抽象代数中，域（德语：Körper，英语：field）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上，域正是数域以及四则运算的推广，所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。

域是环的一种。但区别在于域要求它的非零元素可以做除法，且域的乘法有交换律。

最有名的域结构的例子就是有理数域、实数域还有复数域。还有其他形式的域，例如有理函数域、代数函数域、代数数域、p进数域等，都很常在数学的领域中被使用或是研究，特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠着有限域。

在两个域中的关系被表示成域扩张的观念。Galois理论，由Évariste Galois在1830年代提出，致力于理解域扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果，解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外，还解决了五次方程不能有公式解的问题。

正式定义

给定集合 $K$ ，它具有了以下两种二元运算：

• $+:K\times K\to K$ （其中 $+(a,\,b)$ 惯例上简记为 $a+b$ ）
• $\times :K\times K\to K$ （其中 $\times (a,\,b)$ 惯例上简记为 $a\times b$ 或 $a\cdot b$ 甚至是 $ab$ ）

满足：

1. $\left(K,\,+\right)$ 为交换群，且其单位元为 $0_{K}$ 。
2. $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 为交换群。
3. 分配律：对所有 $a,\,b,\,c\in K$，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ 且 $(b+c)\times a=b\times a+c\times a$。

那称“ $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为域”，当二元运算的符号不重要时，亦可将 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 简记为 $K$ 。

惯用符号与称呼

(1)域的代号：

有时会基于德语 Körper ，以字母 $K$ 代称域，但也会基于英语 Field 以 $F$ 代称。

(2)加法与乘法：

习惯上，$\times$ 被称为乘法， $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 的单位元会记为 $1_{K}$ ，并称为 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 的乘法单位元。

类似地， $+$ 被称为加法， $0_{K}$ 被称为域的加法单位元。所以在省略括弧后，仍依照先乘后加的方式阅读。

(3)减法与除法：

对于任意 $a,\,b\in K$ ，会依据群的习惯，将 $a$ 的加法逆元素记做 $-a$ ，并将 $b+(-a)$ 简记为 $b-a$ ，并可昵称为减法。

类似地，若 $a\neq 0_{K}$ ， $a$ 的乘法逆元素记做 ${\frac {1}{a}}$ ，并将 $b\times {\frac {1}{a}}$ 简记为 ${\frac {b}{a}}$ ，并可昵称为除法。

基本性质

定理 （1） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为域，那对任意 $a\in K$ 有

$0_{k}\times a=a\times 0_{K}=0_{K}$

证明

根据分配律和加法单位元的性质会有

$a\times 0_{k}=a\times (0_{K}+0_{k})=a\times 0_{K}+a\times 0_{K}$

$0_{k}\times a=(0_{K}+0_{k})\times a=0_{k}\times a+0_{k}\times a$

这样的话，根据加法结合律还有加法单位元的性质有

${\begin{aligned}0_{K}&=-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}\\&=-(a\times 0_{K})+(a\times 0_{K}+a\times 0_{K})\\&=[-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}]+a\times 0_{K}\\&=0_{K}+a\times 0_{K}\\&=a\times 0_{K}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0_{K}&=-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a\\&=-(0_{k}\times a)+(0_{k}\times a+0_{k}\times a)\\&=[-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a]+0_{k}\times a\\&=0_{K}+0_{k}\times a\\&=0_{k}\times a\end{aligned}}$

故得证。$\Box$

以上的定理也证明了，只要$\left(K,\,+\right)$ 为交换群且有分配律，就足以决定 $0_{K}$ 相关乘法的值。所以正式定义中把 $0_{K}$ 排除在乘法的交换群之外是不会有问题的。也就是说

系理 （乘法交换律） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为域，那对任意 $a,\,b\in K$ 有

$a\times b=b\times a$

系理 （乘法结合律） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为域，那对任意 $a,\,b,\,c\in K$ 有

$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

定理 （2） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为域，那对任意 $a,\,b\in K$ 有

$-(a\times b)=(-a)\times b=a\times (-b)$

证明

根据乘法交换律跟分配律有

${\begin{aligned}(a\times b)+[(-a)\times b]&=(b\times a)+[b\times (-a)]\\&=b\times (a-a)\\&=b\times 0_{K}\end{aligned}}$

这样根据定理(1)和加法交换律就有

$(a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K}$

所以

$-(a\times b)=[(-a)\times b]$

再考虑到乘法的交换律有

$-(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)$

故得证。$\Box$

定理 （3） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为域，若 $a,\,b\in K$ 且 $a\neq 0_{K}$ 和 $b\neq 0_{K}$ ，则

${\frac {1}{a\times b}}={\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}$

证明

根据乘法的结合律和交换律，还有乘法单位元的性质会有

${\begin{aligned}\left({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}\right)\times (a\times b)&=\left({\frac {1}{b}}\times {\frac {1}{a}}\right)\times (a\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times \left[{\frac {1}{a}}\times (a\times b)\right]\\&={\frac {1}{b}}\times \left[\left({\frac {1}{a}}\times a\right)\times b\right]\\&={\frac {1}{b}}\times (1_{K}\times b)\\&={\frac {1}{b}}\times b\\&=1_{K}\\&=(a\times b)\times ({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\end{aligned}}$

故得证。$\Box$

定理 （4） — $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 为域，那对任意 $a,\,b\in K$ ，若 $a\times b=0_{K}$ ， 则 $a=0_{K}$ 或 $b=0_{K}$。

证明

如果 $K-\{0_{K}\}=\varnothing$ ，那对任意 $a\in K$ 都有 $a=0_{K}$ ，所以以下只考虑 $K-\{0_{K}\}\neq \varnothing$ 状况。

假设存在 $a,\,b\in K$ 满足 $a\neq 0_{K}$ 和 $b\neq 0_{K}$ ，但同时 $a\times b=0_{K}$ ，这样根据定理(1)和(3)有

${\begin{aligned}1_{K}&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times (a\times b)\\&=({\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}})\times 0_{K}\\&=0_{K}\end{aligned}}$

这显然是矛盾的，所以根据反证法和德摩根定理，对所有的 $a,\,b\in K$ ，只能“ $a,\,b$ 其中一者为 $0_{K}$ ”或“ $a\times b\neq 0_{K}$ ”，也就等价于：

“对所有 $a,\,b\in K$ ，若 $a\times b=0_{K}$ 则 $a,\,b$ 其中一者为 $0_{K}$ 。”

故得证。$\Box$

• 域F中的所有非零元素的集合（一般记作F^×）是一个关于乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群。
• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时$F$中最小的子域分别是$\mathbb {Q}$或有限域$\mathbb {F} _{p}$，称之为$F$的素域。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

例子

• 许多常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合$\mathbb {C}$与其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合$\mathbb {Q}$ 与其加法和乘法也是一个域，它是$\mathbb {C}$的子域，并且不包含更小的子域了。
• 代数数域：代数数域是有理数域$\mathbb {Q}$的有限扩域，也就是说代数数域是$\mathbb {Q}$上的有限维向量空间。代数数域都同构于$\mathbb {C}$的子域，并且这个同构保持$\mathbb {Q}$不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作${\overline {\mathbb {Q} }}$。${\overline {\mathbb {Q} }}$是有理数域$\mathbb {Q}$的代数闭包（见下）。${\overline {\mathbb {Q} }}$是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
• 全体实数的集合$\mathbb {R}$对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域$\mathbb {C}$的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是$\mathbb {R}$的一个子域
• 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作F_q，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F₂。F₂只含有两个元素0和1，运算法则如下：

$\oplus$ 0 1 0 0 1 1 1 0

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

• 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说，复数域$\mathbb {C}$就是实数域$\mathbb {R}$在$\mathbb {C}$中关于虚数单位i的单扩张
• 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
• 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
• 设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/<X² + 1>是一个域（同构于复数域$\mathbb {C}$）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
• 若V是域F上的一个代数簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
• 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于$2^{2^{n}}$的所有自然数构成的子集）都是域。

有限域

有限域是一个域有着有限多个元素，其元素个数也跟域的阶数相同，按照域的定义，可以知道$\mathbb {F} _{2}$为最小的有限域，因为根据定义，一个域至少包含两个元素$1\neq 0$。

通常来说，最简单的素数阶域，就是$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...p-1\}$，此处$p$为素数，在这个域上的加法与乘法等同于在整数$\mathbb {\mathbb {Z} }$上的运算，然后除以$p$，取它的余数。这个运算精确的建构了一个域，通常我们将这个域记作$\mathbb {F} _{p}$。要注意的是$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}$，当n为合成数时并不是一个有限域，例如在 $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ 中 $2\times 2=0$ ，因此 $(\{1,2,3\},\times )$ 不能形成群。

如果我们将向量空间${\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}$，则我们将V称作有限域向量空间，其中$n=\dim {\mathit {V}}$，可知这个向量空间中，有$p^{n}$个元素。

如果我们将有限域放入矩阵，也就是$GL_{n}(\mathbb {F} _{p})$，则此矩阵的元素有$(p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})$

历史

历史上，三个代数中的学科导引到了域的概念:第一个是解多项式方程的问题，第二个是代数数论，第三个则是代数几何的问题。域的概念始于1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根x₁, x₂, x₃的置换，在以下的表达

(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³

(其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上，拉格朗日概念上的解释了由 希皮奥内·德尔·费罗 和 弗朗索瓦·韦达 的经典解法，其解法借由简化三次方程关于未知 x 到一个 x³的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察，拉格朗日因此连结的关于域的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有着更全面的延伸。

伽罗瓦理论

请参见伽罗瓦理论

参见

• 特征 (代数)
• 环论
• 域论
• 有序域