单项式

数学上的单项式（英语：Monomial）是指只有一项的多项式。如 $x^{2}$ 、 $x$ 都是单项式。

单项式有两种不同的定义：

单项式，也称为幂乘积，是各变数自然数幂次的乘积，也可以说是变数之间的乘积，变数可能会重复出现，例如 $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ 即为单项式。常数 $1$ 也是单项式，等于空积，也等于 $x^{0}$ ， $x$ 可以对应任意变数。若只考虑单变数 $x$ ，则其单项式可能是 $1$ 或是 $x$ 的幂次 $x^{n}$ ，其中 $n$ 为正整数。若考虑多个变数，如 $x,y,z,$ ，每一个变数都可能有其幂次，因此单项式会是 $x^{a}y^{b}z^{c}$ ，其中 $a,b,c$ 是非负整数^{[注 1]}。
单项式也可以是上述定义的单项式，乘以一个非零的常数，称为单项式的系数。第一种定义下的单项式是这种定义当中，系数为 $1$ 的特例。例如 $-7x^{5}$ 和 $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ 都是单项式（第二例中，变数是 $x,y,z,$ ，且其系数是复数）。

若在讨论洛朗多项式（英语：Laurent polynomial）和洛朗级数时，单项式的幂次可以是负数，若在讨论皮瑟级数（英语：Puiseux series）时，幂次可以是有理数。

二种定义的比较

在上述两种定义中，单项式都是多项式中的子集，且具有乘法封闭性。

在文献中这两种定义都有出现，在许多应用中可以忽略这两种定义之间的差异，这里有些第一个定义^[1]，以及第二个定义的例子^[2]。在非正式的讨论中不太需要区分其差异。一般是倾向使用范围较广的第二个定义。不过在研究多项式结构时，一般会需要用到第一个定义。例如在考虑多项式环的单项基函数（英语：monomial basis），或是此一基底的単项式顺序（英语：monomial order）。

以下的“单项式”会以上述的第一个定义为准。

单项基函数

所有的多项式都是单项式的线性组合，因此形成多项式向量空间的基，称为单项基函数（monomial basis）。

标示

在偏微分方程中常需要标示单项式。若用的变数是像 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , ...之类用下标区隔的变数，则可以用多重指标表示，例如

\alpha =(a,b,c)

可以定义

x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}

以简化标示。

注释

^ 其中若指数为 $0$ ，对应的幂次乘积会等于1

参考资料

^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.
^ Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 其中若指数为 $0$ ，对应的幂次乘积会等于1

[2] Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[注 1]

[1]

[2]

查论编多项式
函数	零次函数(常数函数) 一次函数二次函数三次函数四次函数五次函数
方程	一次方程二次方程三次方程四次方程五次方程六次方程七次方程八次方程
算法	多项式除法因式不可约多项式最大公因式（英语：Polynomial greatest common divisor）秦九韶算法结式判别式

二种定义的比较

单项基函数

标示

注释

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