多重指标

多重指標是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算，也便於操作冪級數。

定義與運算

一個$n$-維多重指標是一個由整數構成的向量

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$

設$\alpha ,\beta$為多重指標，定義：

$\alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

$\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i$

$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$

應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義：

$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$

${\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}$（假設$\alpha \geq \beta$）

設$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$，定義$\mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$

$D^{\alpha }:=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}$其中$D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}$

命題。若$i,k$是非負的$n$維多重指標，且$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$，則

$D^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&i\leq k\\0&i\nleq k\end{cases}}$

按定義直接操作即可證明。

應用

多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：

多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成

$s(\mathbf {x} )=\sum _{I}a_{I}\mathbf {x} ^{I}$

其中$I$是$n$-維多元指標而$\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$，以簡化冗長的表法

$s(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1}\ldots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$

多項展開

$\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}$

萊布尼茨公式：設$u,v$存在夠高階的導數，則

$D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}$

泰勒展開式：對一多元解析函數f，當$|\mathbf {h} |$充分小時有下述展開

$f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }$

其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的泰勒展開式：

$f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )$

其中的最後一項（餘項）有多種表法，例如柯西的積分表法：

$R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}D^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt$

偏微分算子

一個形式上的$n$變元$N$-階偏微分算子能以多重指標寫成

$P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}$

分部積分：對有界定義域$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$上的緊支集光滑函數，我們有

$\int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}$

此公式用以定義分佈與弱導數。

文獻

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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