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卡迈克尔数

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数论上,卡迈克尔数(英语:Carmichael numbers)是正合成数,且使得对于所有跟互素的整数

概观

费马小定理说明所有素数都有这个性质。在这方面,卡迈克尔数和素数十分相似,所以它们称为伪素数

因为这些数的存在,使得费马素性检验变得不可靠。不过,它仍可用于证明一个数是合数。另一方面,随着数越来越大,卡迈克尔数变得越来越少,1至有585 355个卡迈克尔数。

卡迈克尔数的一个等价的定义在Korselt定理(1899年)出现:一个正合成数是卡迈克尔数,当且仅当无平方数约数且对于所有素因数

这个定理即时说明了所有卡迈克尔数是奇数

Korselt虽然发现了这些性质,但不能找到例子。1910年罗伯特·丹尼·卡迈克尔找到了第一个兼最小的有这样性质的数——561。,无平方数因数,且2|560 ; 10|560 ; 16|560 。

之后的卡迈克尔数:(OEIS:A002997

1105 = 5×13×17 (4 | 1104, 12 | 1104, 16 | 1104)
1729 = 7×13×19 (6 | 1728, 12 | 1728, 18 | 1728)
2465 = 5×17×29 (4 | 2464, 16 | 2464, 28 | 2464)
2821 = 7×13×31 (6 | 2820, 12 | 2820, 30 | 2820)
6601 = 7×23×41 (6 | 6600, 22 | 6600, 40 | 6600)
8911 = 7×19×67 (6 | 8910, 18 | 8910, 66 | 8910)

J. Chernick 在1939年证明的一个定理,可以构造卡迈克尔数的一个子集

对于正整数,若其三个约数都是素数,它是卡迈克尔数。

保罗·埃尔德什猜想有无限个卡迈克尔数,1994年 William Alford 、 Andrew Granville 及 Carl Pomerance 证明了这个命题。

此外,对于足够大的,1至之间有至少个卡迈克尔数。

1992年Löh和Niebuhr找到一些很大的卡迈克尔数,其中一个有1 101 518 个约数且有多于个位数。

性质

卡迈克尔数有至少3个正素因数。以下是首个k个正素因数的卡迈克尔数,k=3,4,5,...:(OEIS:A006931

k  
3 561 = 3×11×17
4 41041 = 7×11×13×41
5 825265 = 5×7×17×19×73
6 321197185 = 5×19×23×29×37×137
7 5394826801 = 7×13×17×23×31×67×73
8 232250619601 = 7×11×13×17×31×37×73×163
9 9746347772161 = 7×11×13×17×19×31×37×41×641

以下是首十个有4个素因数的卡迈克尔数:(OEIS:A074379

i  
1 41041 = 7×11×13×41
2 62745 = 3×5×47×89
3 63973 = 7×13×19×37
4 75361 = 11×13×17×31
5 101101 = 7×11×13×101
6 126217 = 7×13×19×73
7 172081 = 7×13×31×61
8 188461 = 7×13×19×109
9 278545 = 5×17×29×113
10 340561 = 13×17×23×67

更高阶的卡迈克尔数

参考

不完全翻译自英文版。

  • Chernick, J. (1935). On Fermat's simple theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 269–274.
  • Ribenboim, Paolo (1996). The New Book of Prime Number Records.
  • Howe, Everett W. (2000). Higher-order Carmichael numbers. Mathematics of Computation 69, 1711–1719. (online version)Archive.is存档,存档日期2012-07-01
  • Löh, Günter and Niebuhr, Wolfgang (1996). A new algorithm for constructing large Carmichael numbers页面存档备份,存于互联网档案馆)(pdf)
  • Korselt (1899). Probleme chinois. L'intermediaire des mathematiciens, 6, 142–143.
  • Carmichael, R. D. (1912) On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence . Am. Math. Month. 19 22–27.
  • Erdős, Paul (1956). On pseudoprimes and Carmichael numbers, Publ. Math. Debrecen 4, 201 –206.
  • Alford, Granville and Pomerance (1994). There are infinitely many Carmichael numbers, Ann. of Math. 140(3), 703–722.