卡邁克爾數
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在數論上,卡邁克爾數(英語:Carmichael numbers)是正合成數,且使得對於所有跟互質的整數,。
概觀
費馬小定理說明所有質數都有這個性質。在這方面,卡邁克爾數和質數十分相似,所以它們稱為偽質數。
因為這些數的存在,使得費馬質性檢驗變得不可靠。不過,它仍可用於證明一個數是合數。另一方面,隨着數越來越大,卡邁克爾數變得越來越少,1至有585 355個卡邁克爾數。
卡邁克爾數的一個等價的定義在Korselt定理(1899年)出現:一個正合成數是卡邁克爾數,當且僅當無平方數因數且對於所有的質因數,。
這個定理即時說明了所有卡邁克爾數是奇數。
Korselt雖然發現了這些性質,但不能找到例子。1910年羅伯特·丹尼·卡邁克爾找到了第一個兼最小的有這樣性質的數——561。,無平方數因數,且2|560 ; 10|560 ; 16|560 。
之後的卡邁克爾數:(OEIS:A002997)
1105 = 5×13×17 (4 | 1104, 12 | 1104, 16 | 1104) 1729 = 7×13×19 (6 | 1728, 12 | 1728, 18 | 1728) 2465 = 5×17×29 (4 | 2464, 16 | 2464, 28 | 2464) 2821 = 7×13×31 (6 | 2820, 12 | 2820, 30 | 2820) 6601 = 7×23×41 (6 | 6600, 22 | 6600, 40 | 6600) 8911 = 7×19×67 (6 | 8910, 18 | 8910, 66 | 8910)
J. Chernick 在1939年證明的一個定理,可以構造卡邁克爾數的一個子集。
對於正整數或,若其三個因數都是質數,它是卡邁克爾數。
保羅·艾狄胥猜想有無限個卡邁克爾數,1994年 William Alford 、 Andrew Granville 及 Carl Pomerance 證明了這個命題。
此外,對於足夠大的,1至之間有至少個卡邁克爾數。
1992年Löh和Niebuhr找到一些很大的卡邁克爾數,其中一個有1 101 518 個因數且有多於個位數。
性質
卡邁克爾數有至少3個正質因數。以下是首個k個正質因數的卡邁克爾數,k=3,4,5,...:(OEIS:A006931)
k | |
---|---|
3 | 561 = 3×11×17 |
4 | 41041 = 7×11×13×41 |
5 | 825265 = 5×7×17×19×73 |
6 | 321197185 = 5×19×23×29×37×137 |
7 | 5394826801 = 7×13×17×23×31×67×73 |
8 | 232250619601 = 7×11×13×17×31×37×73×163 |
9 | 9746347772161 = 7×11×13×17×19×31×37×41×641 |
以下是首十個有4個質因數的卡邁克爾數:(OEIS:A074379)
i | |
---|---|
1 | 41041 = 7×11×13×41 |
2 | 62745 = 3×5×47×89 |
3 | 63973 = 7×13×19×37 |
4 | 75361 = 11×13×17×31 |
5 | 101101 = 7×11×13×101 |
6 | 126217 = 7×13×19×73 |
7 | 172081 = 7×13×31×61 |
8 | 188461 = 7×13×19×109 |
9 | 278545 = 5×17×29×113 |
10 | 340561 = 13×17×23×67 |
更高階的卡邁克爾數
參考
不完全翻譯自英文版。
- Chernick, J. (1935). On Fermat's simple theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 269–274.
- Ribenboim, Paolo (1996). The New Book of Prime Number Records.
- Howe, Everett W. (2000). Higher-order Carmichael numbers. Mathematics of Computation 69, 1711–1719. (online version)Archive.is的存檔,存檔日期2012-07-01
- Löh, Günter and Niebuhr, Wolfgang (1996). A new algorithm for constructing large Carmichael numbers (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)(pdf)
- Korselt (1899). Probleme chinois. L'intermediaire des mathematiciens, 6, 142–143.
- Carmichael, R. D. (1912) On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence . Am. Math. Month. 19 22–27.
- Erdős, Paul (1956). On pseudoprimes and Carmichael numbers, Publ. Math. Debrecen 4, 201 –206.
- Alford, Granville and Pomerance (1994). There are infinitely many Carmichael numbers, Ann. of Math. 140(3), 703–722.