半完全数

在数论中，半完全数（或称半完美数、伪完全数、伪完美数）是完全数的推广。如果一个正整数自身的全部或一部分真因数的和等于此数自身，则称其为半完全数。显然，所有完全数都是半完全数，半完全数不可能是亏数。一部分过剩数也是半完全数。不是半完全数的过剩数称为奇异数。

前几个半完全数是：

6、12、18、20、24、28、30、36、40、42…… A005835

特点

• 半完全数的倍数还是半完全数。若半完全数不能被所有更小的半完全数整除，称为本原半完全数。
• 若m为自然数，p是奇数的素数，使得p < 2^{m + 1}，则2^mp也是半完全数。
  • 特别是每一个符合2^m(2^{m + 1} − 1)的整数也是半完全数，若2^{m + 1} − 1为梅森素数，2^m(2^{m + 1} − 1)会是完全数。
• 最小的奇数半完全数是945（由Friedman在1993年发现）
• 半完全数会是完全数或是丰数。不是半完全数的丰数会称为奇异数。
• 除了2以外，每一个本原伪完全数都是半完全数。
• 每一个不是2次幂的实际数都是半完全数。
• 半完全数集合的自然密度存在

参考资料

• Friedman, Charles N. Sums of divisors and Egyptian fractions. Journal of Number Theory. 1993, 44 (3): 328–339 [2020-12-31]. MR 1233293. Zbl 0781.11015. doi:10.1006/jnth.1993.1057. （原始内容存档于2012-02-10）. 
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001.  Section B2.
• Sierpiński, Wacław. Sur les nombres pseudoparfaits. Mat. Vesn., N. Ser. 2. 1965, 17: 212–213. MR 0199147. Zbl 0161.04402 （法语）. 
• Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni. Perfect, semiperfect and Ore numbers. Bull. Soc. Math. Grèce, n. Ser. 1972, 13: 12–22. MR 0360455. Zbl 0266.10012. 

参见

• Hemiperfect数
• Erdős–Nicolas数