半完全數

在數論中，半完全數（或稱半完美數、偽完全數、偽完美數）是完全數的推廣。如果一個正整數自身的全部或一部分真因數的和等於此數自身，則稱其為半完全數。顯然，所有完全數都是半完全數，半完全數不可能是虧數。一部分過剩數也是半完全數。不是半完全數的過剩數稱為奇異數。

前幾個半完全數是：

6、12、18、20、24、28、30、36、40、42…… A005835

特點

• 半完全數的倍數還是半完全數。若半完全數不能被所有更小的半完全數整除，稱為本原半完全數。
• 若m為自然數，p是奇數的質數，使得p < 2^{m + 1}，則2^mp也是半完全數。
  • 特別是每一個符合2^m(2^{m + 1} − 1)的整數也是半完全數，若2^{m + 1} − 1為梅森素數，2^m(2^{m + 1} − 1)會是完全數。
• 最小的奇數半完全數是945（由Friedman在1993年發現）
• 半完全數會是完全數或是豐數。不是半完全數的豐數會稱為奇異數。
• 除了2以外，每一個本原偽完全數都是半完全數。
• 每一個不是2次冪的實際數都是半完全數。
• 半完全數集合的自然密度存在

參考資料

• Friedman, Charles N. Sums of divisors and Egyptian fractions. Journal of Number Theory. 1993, 44 (3): 328–339 [2020-12-31]. MR 1233293. Zbl 0781.11015. doi:10.1006/jnth.1993.1057. （原始內容存檔於2012-02-10）. 
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001.  Section B2.
• Sierpiński, Wacław. Sur les nombres pseudoparfaits. Mat. Vesn., N. Ser. 2. 1965, 17: 212–213. MR 0199147. Zbl 0161.04402 （法語）. 
• Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni. Perfect, semiperfect and Ore numbers. Bull. Soc. Math. Grèce, n. Ser. 1972, 13: 12–22. MR 0360455. Zbl 0266.10012. 

參見

• Hemiperfect數
• Erdős–Nicolas數